Séminaire de Théorie ergodique

In joint work with M. Bestvina and K. Fujiwara we described an axiomatic approach to construct group actions on quasi-trees. The construction is very general and works for a wide class of groups that have some form of hyperbolic behavior. The original proof was quite technical. In new work, joint with Bestvina, Fujiwara and A. Sisto we have a much simpler approach that also produces acylindrical actions. We will describe this work.

In joint work with M. Bestvina and K. Fujiwara we described an axiomatic approach to construct group actions on quasi-trees. The construction is very general and works for a wide class of groups that have some form of hyperbolic behavior. The original proof was quite technical. In new work, joint with Bestvina, Fujiwara and A. Sisto we have a much simpler approach that also produces acylindrical actions. We will describe this work.

La notion classique de dimension de Krull d'un module se transpose naturellement pour un groupe et s'avère avoir des connexions avec la probabilité de retour de la marche aléatoire. Pour les groupes non moyennables et les groupes à croissance polynomiale, le comportement de la probabilité de retour est connu, grâce, en particulier, aux travaux de Kesten et Varopoulos. Pour les groupes à croissance exponentielle, on ne connaît en général qu'une borne supérieure, atteinte. De nombreuses classes de groupes admettent cette grande probabilité de retour, parmi lesquelles les groupes d'allumeurs de réverbères et les groupes résolubles de rang fini. Dans cet exposé, je présenterai une caractérisation, pour les groupes métabéliens, de cette grande probabilité de retour en termes de dimension de Krull. Pour comprendre ces liens dans les groupes résolubles en général, il faut étudier la structure de certains exemples, de rang infini. Dans une dernière partie, j'évoquerai un travail récent avec Peter Kropholler dans cette direction.

We consider averaging processes $(A_n)$ arising in ergodic theory. We say $f$ is good if $ (A_n f)$ converges a.e. and $f$ is bad when a.e. $(A_n f)$ does not converge. We are interested in averaging processes that are not well-behaved i.e. some (or most) functions $f$ are bad.

For example, take a standard non-atomic probability space$ (X, \beta, m)$ and take an increasing sequence $(m_k)$ in N, and consider $A_n^\tau f = \frac1n \sum_{k=1}^n f \circ \tau^{m_k}$ for some fixed ergodic mapping $\tau$. There are examples of such averages and ergodic maps for which all non-constant functions $f$ in $L^1(X)$ are bad, indeed the averages are fully divergent in the sense that $\sup_{n \geq 1} |A_n^\tau f| = \infty$ a.e. if f is not bounded. With the sequence $(m_k)$ fixed, this cannot ever occur for all ergodic maps, but when it does happen for a given map, then for any ergodic mapping, $\sup_{n \geq 1} |A_n^\tau f|= \infty$ a.e. for the generic function. It turns out that it can be quite challenging to know what functions are good or bad for a given map, and what maps are good or bad for a given function.

But a fairly complete analysis of the good and the bad is available for moving averages $1/L_n \sum_{k= v_n+1}^{v_n+L_n} f \circ \tau^{k}$. The global case where all functions and all maps are good requires the Cone Condition. But interesting results hold even when the Cone Condition fails and we have to consider the moving averages locally. For example, for a given ergodic map $\tau$, every function $f$ in $L^1(X)$ is good for some moving average with respect to $\tau$ for which at the same time the generic function in $L^1(X)$ is bad. Also, we can characterize when a mean-zero $f$ in $L^1(X)$ is good for all moving averages with respect to an ergodic map $\tau$.

This is a first category phenomenon, but the class is always larger than just the $\tau$-coboundaries with integrable transfer function. In the polar case, if we fix the non-zero, mean-zero function $f$, then for a generic class of ergodic maps $\tau$, the function is bad for some moving average with respect to $\tau$. Nonetheless, for some classes of functions we can show the function is good for some ergodic map and all moving averages for that map. We conjecture that this is actually the case for all integrable functions, but the proof of this may rely on proving every mean-zero function is a $\tau$-coboundary with an integrable transfer function for some ergodic map.

Dans de nombreux systèmes dynamiques, la distribution du temps d'entrée dans un petit ensemble est bien approchée par une loi exponentielle, et les visites successives par un processus de Poisson sur la demi-droite. Cette convergence en loi a été établie sous des conditions de mélange adaptées aux ensembles cibles. Ici nous proposons une généralisation qui consiste à garder en mémoire non seulement les temps de passage mais aussi les positions dans les petits ensembles. Travail en commun avec Françoise Pène (UBO).

The main question in this talk will be: what does a typical manifold look like? In order to study typical manifolds, we will consider random manifolds and ask what an average one looks like. I will discuss multiple models for random two- and three-dimensional manifolds and the geometry and topology of the manifolds they produce.

Je compte parler de la torsion de Reidemeister (combinatoire et analytique) par moyen d'exemples et puis m'occuper des variétés hyperboliques tridimensionnelles, closes et orientables. En particulier je vais énoncer des résultats et poser des questions sur le comportement de cet invariant pour des suites de variétés tridimensionnelles.

Considérons un groupe semisimple réel $G$ et une représentation $\rho$ de $G$ sur un espace vectoriel $V$. On se pose la question suivante : le groupe affine $G \ltimes V$ (produit semidirect de $G$ par $V$) contient-il un sous-groupe libre non abélien Zariski-dense qui agit proprement sur $V$ ? Nous allons présenter un critère algébrique simple portant sur la représentation $\rho$ qui donne une condition suffisante (et conjecturalement nécessaire) pour que la réponse soit positive. Nous allons ensuite chercher à classifier explicitement les représentations vérifiant ce critère.

Un échange d’intervalle affine (AIET) est une bijection de [0,1[, affine et continue par morceaux (avec un nombre fini de tels morceaux). Je présenterai dans cet exposé une famille à 1-paramètre de tels AIETs pour laquelle nous mettrons en évidence différents comportements dynamiques que ses éléments présentent. J'illustrerais cet exposé par des simulations numériques pour motiver des questions plus générales et je tenterais de donner des éléments de réponse théoriques aux questions que j’introduirai. (Travail en commun avec Adrien Boulanger et Charles Fougeron)

Dans cet exposé, je parlerai d'espaces métriques à courbure minorée au sens d'Alexandrov. D'un point de vue analytique, on peut considérer ces espaces comme des variétés riemanniennes ouvertes, à un lieu singulier près. Je m'intéresserai à la régularité de ces métriques riemanniennes. Après avoir rappelé un résultat dans le cas des surfaces, je présenterai des résultats partiels valables en dimension supérieure. Une partie des résultats a été obtenue en collaboration avec L. Ambrosio (SNS Pisa).

Soit $G$ un sous-groupe cocompact de $SO(n,1)$. L’inclusion de $SO(n,1)$ dans $SO(m,1)$, avec $m>n$, permet de voir $G$ comme un sous groupe de $SO(m,1)$. Dans ce cas il est dit Fuchsien : il préserve une copie totalement géodésique de $H^n$ dans $H^m$. Si on perturbe cette inclusion dans $SO(m,1)$, la représentation est dite quasi-Fuchsienne. Un théorème de Yue, caractérise cette représentation Fuchsienne (à conjugaisons près) parmi les représentations quasi-Fuchsiennes grâce à son exposant critique. J’expliquerai comment ce théorème “passe à la limite” : si l’exposant critique d'une suite de représentations quasi-Fuchsiennes tend vers la valeur Fuchsienne, alors la suite de représentations tend vers la représentation Fuchsienne (à sous-suites et conjugaisons près).

La dynamique dans les billards polygonaux est reliée à la dynamique sur les espaces de modules de surfaces plates. Le calcul du volume de ces espaces de modules est utile pour les applications à la dynamique des billards, et fait intervenir de dénombrement des surfaces à petits carreaux. Je présente plusieurs résultats sur les surfaces à petits carreaux en relation avec ces problèmes (travail en collaboration avec M. Möller, et avec V. Delecroix, P. Zograf, A. Zorich), et explique leur relation avec l'étude asymptotique des volumes quand le genre des surfaces tend vers l'infini.

Une partie de la preuve de l'alternative de Tits pour les sous-groupes finiment engendrés de $PGL_n(\mathbb C)$ consiste à injecter un tel groupe $\Gamma$ dans $PGL(\mathbb Q_p)$ (pour un $p$ bien choisi) et en tirer des informations sur les éléments de $\Gamma$. Dans cet exposé je vais rappeler ce résultats et expliquer comment le même genre d'idée, à l'aide d'éléments d'intégration $p$-adique, peut servir à décrire la dynamique d'un automorphisme d'une variété symplectique holomorphe irréductible préservant une fibration sur $\mathbb P^n$.

We study smooth group actions and random walks on surface under a mild assumption called "weakly expanding". In particular, we prove that some statistical properties (large deviation, equidistribution, etc.) for non-abelian semigroup of linear action on the torus persist under C1 conservative perturbation of the generators. In addition we give a sufficient condition and an example for robust minimality of the action of semigroup generated by conservative diffeomorphisms on the surfaces.

A toute collection finie de courbes fermées sur une surface compacte, on associe une certaine norme sur le premier groupe d'homologie de la surface. Ces normes sont des cousines élémentaires des normes de Thurston sur le second groupe d'homologie des 3-variétés. En particulier, comme pour la norme de Thurston, la boule unité de la norme duale (sur la cohomologie) est l'enveloppe convexe d'un nombre fini de points entiers. On interprète ces points en termes d'orientations de la collection de courbes dont on est parti. Tout ceci est ensuite utilisé pour classifier les classes d'isotopie de sections de Birkhoff du flot géodésique sur une surface hyperbolique (c'est-à-dire les surfaces dans le fibré unitaire tangent de la surface qui sont transverses au flot géodésique et dont le bord est prescrit).

We are interested in the asymptotic behavior of the first return time of the orbits of a dynamical system into a small neighbourhood of their starting points. We study this quantity in the context of dynamical systems preserving an infinite measure. More precisely, we consider the case of $\mathbb{Z}$-extensions of subshifts of finite type. we also consider a toy probabilistic model to enlight the strategy of our proofs.

Alors que les réseaux dans les groupes de Lie semi-simples sont bien étudiés, on ne sait pas beaucoup de choses pour les groupes discrets de covolume infini. Les exemples principaux sont les groupes de Schottky. Dans cet exposé, nous donnerons une description des possibilités pour les ensembles limites des sous-groupes de type fini de réseaux irréductibles de $PSL(2,R)^n$.

Soit $\nu$ une mesure de probabilité sur le groupe des homéomorphismes du cercle, et soit $(g_n)$ une marche aléaoire associée, i.e. $g_n=f_{n-1}...f_0$ où $(f_k)$ est une suite d'homéomorphismes tirés indépendamment selon la loi $\nu$. Sous l'hypothése que le groupe $G(\nu)$ engendré par le support de $\nu$ ne préserve pas de mesure de probabilité sur le cercle, nous montrons que tout point du cercle admet presque sûrement un voisinage $I$ contracté exponentiellement vite par $(g_n)$, et déduisons diverses conséquences ergodiques.

En Théorie ergodique, les Suspensions de Poisson et les processus stationnaires Gaussiens forment la grande classe des systèmes dynamiques "d’origine probabiliste". Ils partagent de nombreux points communs, notamment, une Suspension de Poisson ne peut être distinguée d’un système Gaussien par ses propriétés spectrales uniquement.
Cependant, à l’inverse, les Processus Gaussiens stationnaires possédant la propriété dite "de Foias-Stratila" (FS) forment une classe entièrement déterminée par leur propriétés spectrales qui s’avèrent impossibles à réaliser par des Suspensions de Poisson.
Dans un article récent, nous avons obtenu une sorte d'analogue Poissonien (non spectral) de cette propriété FS. Le but de cet exposé est de présenter ces Suspensions de Poisson particulières et de montrer qu’elles sont disjointes au sens de Furstenberg de tous les processus Gaussiens stationnaires.
Travail en collaboration avec Elise Janvresse et Thierry de la Rue

Je présenterais une façon de prolonger la résolvante du flot géodésique pour des surfaces avec des pointes hyperboliques, et définir ainsi un spectre de Ruelle. L’argument repose sur des techniques mises en forme par Faure-Sjostrand, dont je dirai quelques mots en cours de route. À ma connaissance, les seuls résultats existants sur le sujet sont des résultats de prolongement de la fonction zeta dynamique (D. Mayer, T. Morita), qui ne passent pas par le prolongement de la résolvante. On peut observer l’apparition de pôles exceptionnels dans la fonction zeta, et mon résultat est un premier pas pour essayer de revisiter ce phénomène, en collaboration avec T. Weich (Uni-Paderborn).

Considérons un ellipsoïde et faisons tendre l'un de ses trois axes vers zéro : l'ellipsoïde s'aplatit et se rapproche d'une ellipse dans le plan formé par les deux autres axes. Comme l'avait remarqué Birkhoff, le flot géodésique sur l'ellipsoïde converge vers le flot de billard sur l'ellipse.

En fait, ce phénomène est bien plus général : on verra qu'il s'applique à presque n'importe quelle surface de $\mathbb{R}^3$ que l'on aplatit selon un axe. De plus, si le billard obtenu à la limite est dispersif, sous certaines conditions peu restrictives, alors le flot géodésique sur la surface est Anosov (les deux systèmes présentent alors le même type de dynamique chaotique).

Ce dernier théorème permet d'obtenir un exemple concret de système physique Anosov: un système articulé à cinq tiges. Enfin, avec une nouvelle version du théorème qui s'applique cette fois à des billards non plats, on obtient des exemples de surfaces de petit genre, à flot géodésique Anosov, plongées dans la sphère $\mathbb{S}^3$.

We weaken the assumption of summable variations in a paper by Verbitskiy to a weaker condition, Berbee's condition, in order for a 1-block factor (a single site renormalisation) of the full shift space on finitely many symbols to have a $g$-measure with a continuous $g$-function. Thus we find a bigger class of $g$-functions that is closed under taking 1-block factors, in the sense that the factored measure is still a $g$-measure. But we also prove by means of a counterexample, that this condition is (within constants) optimal. The counterexample is based on the second of our main results, which is a non-trivial modification of results on phase transitions for the long-range Ising model on ${\mathbb Z}$ to a dynamical setting for Gibbs measures, in particular $g$-measures, with potentials defined on ${\mathbb Z}_+$. We prove that there is an inverse critical temperature in a one-sided long-range Ising model which is at most 8 times the critical inverse temperature for the (two-sided) Ising model with long-range interactions.

Dans cet exposé, il sera question d'un théorème ergodique pour des actions du groupe libre. Nous allons prouver la convergence $L^1$ des moyennes sphériques mais pas celles auxquelles nous sommes habituées ! La définition standard va être généralisée de sorte que les éléments de la sphère dans le groupe libre vont être pris avec les poids définis par une chaîne de Markov. Sous des conditions faibles (données par des inégalités) sur la matrice stochastique $P$ qui définit la chaîne, nous prouvons la convergence des moyennes sphériques. Jusqu'ici, cette convergence n'était connue que pour les chaînes de Markov symétriques (données par des égalités) ; maintenant elle est établie sur un ouvert de l'espace des matrices stochastiques. Ce travail est une collaboration avec Lewis Bowen et Alexander Bufetov.

Les réseaux dans les groupes de Lie semisimples de rang supérieur satisfont à de nombreuses propriétés de rigidité : propriété (T), existence de points fixes pour des actions sur des arbres, des espaces de Hilbert... Dans cet exposé, nous montrerons que tout action par isométries d'un réseau sur un espace Gromov-hyperbolique est élémentaire. Parmi les conséquences, on retrouve le théorème de Farb-Kaimanovich-Masur que tout morphisme d'un réseau à valeur dans un groupe modulaire est d'image finie. Guirardel et Horbez en déduisent également le théorème de Bridson-Wade que toute morphisme d'un réseau à valeurs dans Out(Fn) est d'image finie.

A tout système dynamique (et plus généralement a tout groupoïde étale), on peut associer un groupe, appelé le groupe plein-topologique. Dans les dernières années, cette construction a été étudié par plusieurs auteurs et utilisée pour produire des exemples de groupes avec des propriétés inusuelles.

Dans ces résultats les propriétés de la dynamique sous-jacente (minimalité, variantes de l’entropie topologique, expansivité, …) interagissent naturellement avec des propriétés du groupe, de nature géométrique (moyennabilité, propriétés asymptotiques des marches aléatoires, croissance..), et algébriques (simplicité, torsion..).

Je vais discuter quelques résultats dans ce domaine, et presenter un panorama général.

Oppenheim's long standing conjecture on values of quadratic forms at integer points was resolved by G. Margulis using an observation of Raghunathan connecting the problem to dynamics of group actions on the space of lattices. Subsequent important work was carried out by Dani-Margulis and Eskin-Margulis-Mozes among others. However, the problem of obtaining an effective form of Margulis' theorem has remained largely open. I will explain what this means and report on several recent developments in this direction.

Si G est un groupe dénombrable, l'espace $Sub(G)$ des sous-groupes de $G$ est naturellement un espace compact, sur lequel $G$ agit par conjugaison. Dans cet exposé je vais parler de l'étude des sous-groupes uniformément récurrents (fermés minimaux invariants dans $Sub(G)$) des groupes admettant une action micro-supportée sur un espace topologique séparé. Les groupes de Thompson (sur l'intervalle, le cercle et le Cantor), les groupes d'homéomorphismes projectifs par morceaux considérés récemment par Monod, les groupes branchés agissant sur un arbre enraciné, ou les groupes pleins topologiques agissant minimalement sur l'espace de Cantor sont des exemples de tels groupes. On en déduit entre autre des résultats de $C*$-simplicité pour ces groupes. Il s'agit d'un travail en commun avec Nicolas Matte Bon.

Nous montrerons que lorsque M est une variété géométriquement finie, l'ensemble des mesures de probabilité invariantes par le flot géodésique, faiblement mélangeantes forme un sous-ensemble $G_{\delta}$-dense de l'ensemble des mesures de probabilité invariantes par le flot géodésique. Nous aborderons certains cas de variétés géométriquement infinies pour lesquelles cette affirmation reste vraie.

Pour étudier les propriétés d'un groupe discret, on le fait souvent agir sur un "bon" espace. Dans notre cas un "bon" espace sera un espace classifiant (ou un espace classifiant pour les actions propres). De tels espaces sont très courants, par exemple le plan hyperbolique est un espace classifiant pour les actions propres du groupe $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ (il n'est cependant pas de dimension minimale). Ils peuvent servir notamment à calculer la cohomologie du groupe, il est donc préférable d'en trouver de la plus petite dimension possible. Cela nous mène aux définitions de la dimension géométrique (propre) et de la dimension cohomologique (virtuelle) . Ces deux dimensions ne sont pas toujours égales, nous montrons ici que c'est le cas pour un réseau dans le groupe d'isométries $G$ d'un espace symétrique de type non-compact sans facteur euclidien (un tel groupe est un groupe de Lie semisimple mais pas nécessairement connexe). Le fait de considérer tout le groupe d'isométries a une conséquence importante qu'on appelle la "rigidité dimensionnelle", c'est-à-dire que les deux dimensions citées précédemment restent égales pour un groupe commensurable à un réseau de $G$.

(en collaboration avec K. Fraçzek, J. Kułaga-Przymus et M. Lemańczyk)

Un automorphisme $T$ d'un espace de probabilité satisfait la propriété AOP (puissances asymptotiquement orthogonales) si tous les couplages ergodiques de $T^r \otimes T^s$ sont proches du couplage lorsque les entiers relativement premiers $r$ et $s$ tendent vers l'infini.

On démontre que les difféomorphismes affines unipotents et ergodiques des nilvariétés satisfont la propriété AOP. Deux conséquences en découlent

(i) La conjecture de Sarnak sur l'orthogonalité de la fonction de Möbius est vraie pour tout automorphisme mesurablement isomorphe à un difféomorphisme affine d' une nilvariété.

(ii) En plus, la conjecture de Sarnak est aussi vérifiée "sur des petits intervalles".

On s'intéresse à des densités d'ensembles définis via la fonction somme des chiffres en base deux $s_2$. Plus précisément, pour chaque entier naturel $a$ et pour chaque entier relatif $d$, on s'intéresse à la densité de l'ensemble des entiers naturel $n$ tels que $s_2(n+a)-s_2(n)=d$. On appelle cette densité $\mu_a(d)$ et on remarque que $\mu_a$ est une mesure de probabilité sur $\mathbb Z$. Ces ensembles interviennent naturellement en arithmétique, notamment dans les travaux de Bésineau sur les corrélations de certaines fonctions arithmétiques. Ici notre approche est différente et nous faisons d'abord une étude combinatoire des solutions de $s_2(n+a)-s_2(n)=d$. Nous en donnons une description par des arbres et des automates. Ceci permet d'exprimer $\mu_a$ comme produit de matrices. À partir de cette expression nous donnons des propriétés asymptotiques de cette mesure de probabilité lorsque $a$ tend vers l'infini (en un sens plus précis que nous définirons). Par exemple, nous montrons que la norme $l^2$ de cette mesure tend vers zéro lorsque $a$ tend vers l'infini. Nous avons par ailleurs des bornes sur la variance de $\mu_a$ pour $a$ "assez grand". Enfin, dans un travail en commun avec Pascal Hubert reprenant ces résultats, nous montrons que $\mu_a$ vérifie un théorème central limite.

Le graphe des rayons est un graphe Gromov-hyperbolique sur lequel le groupe modulaire (mapping class group) du plan privé d'un ensemble de Cantor agit par isométries. Dans un travail en commun avec Alden Walker, nous avons donné une description du bord de Gromov de ce graphe en termes de rayons géodésiques longs dans le plan privé d'un ensemble de Cantor. Nous obtenons ainsi un homéomorphisme naturel entre ce bord et un quotient d'un sous-ensemble du cercle. Dans cet exposé, je présenterai (en images !) le graphe des rayons et notre description de son bord de Gromov.

Aaronson showed in 1977 that there is no ergodic theorem in infinite measure space and the failure is very drastic in the sense that normalised Birkhoff sums of positive integrable function either tend to 0 almost surely or to infinity almost surely. Recently it was observed by Maucourant and Schapira that there are transformations for which the symmetric Birkhoff sums (where the summation is along a symmetric time interval) can behave more regularly. In this talk I will explain this new phenomena and discuss the main result that although the failure is less drastic, there is no ergodic theorem for symmetric Birkhoff sums in infinite measure space and there exists a universal divergence statement. The contents of this talk are a combination of 2 papers, one of them is joint with Benjamin Weiss (Hebrew University) and Jon Aaronson (Tel Aviv).