Séminaire de Théorie ergodique

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Nous décrivons les fermetures des orbites localement divergentes pour l'action des tores maximaux sur des espaces homogènes semi-simples. Comme application, nous montrons la densité des valeurs aux points entiers des formes déployées, localement rationnelles mais non-rationnelles.

Dans ce mémoire, nous étudions l'entropie des systèmes dynamiques différentiables définis sur des variétés riemanniennes non compactes. Dans un premier temps, nous éclaircissons les liens entre différentes notions d'entropie dans ce cadre non compact. Ensuite, nous utilisons ces premiers résultats pour y étudier la validité de l'inégalité de Ruelle. Rappelons ici que cette inégalité, pour des difféomorphismes de variétés riemanniennes compactes, nous dit que l'entropie est majorée par la somme des exposants de Lyapounov positifs. Nous montrons que, lorsque nous enlevons l'hypothèse de compacité, l'inégalité de Ruelle n'est pas toujours satisfaite. Nous obtenons ce résultat en construisant une famille explicite de contre-exemples. En revanche, nous montrons, dans le cas d'un difféomorphisme de comportement asymptotique linéaire, ou du flot géodésique sur le fibré unitaire tangent d'une variété riemannienne à courbure négative, que l'inégalité de Ruelle est toujours satisfaite. Pour finir, nous nous intéressons au problème de la perte possible de masse d'une suite de mesures de probabilité d'une variété riemannienne non compacte. Dans le cas du flot géodésique, nous montrons que l'entropie permet de contrôler la masse d'une limite vague de mesures de probabilité invariantes par le flot pour une classe particulière de variétés géométriquement finies. Plus précisément, nous montrons qu'une suite de mesures d'entropie assez grande ne peut pas perdre la totalité de sa masse. De plus, le minorant optimal de l'entropie dans ce résultat est lié à la géométrie de la partie non compacte de la variété: c'est l'exposant critique maximal des sous-groupes paraboliques du groupe fondamental.

Axel Rogue: Exposant de Lyapounov minimal sur $\mathbb{P}(\mathbb{C}^2)$.

La dynamique des orbites obtenues par itération d'une application holomorphe $f$ de $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ a été initiée au début du XXème siècle par (entre autres) Julia et Fatou. Le chaos de tels systèmes étant important, il a fallu attendre quelques décénies avant que le point de vue ergodique, dont l'idée fondamentale est est d'utiliser une mesure invariante pour étudier ce qu'il se produit en moyenne, permette une meilleure compréhension des phénomènes rencontrés. Elle permet notament de définir les exposants de Lyapunov, qui s'apparentent à des valeurs propres asymptotiques de la suite $D_{x} f^n$. On sait grâce à Briend et Duval que ces exposants de Lyapunov sont minorés par une constante. Une question naturelle est donc: Quels sont les $f$ ayant un exposant minimal ?

Christian Urech: Quelques homomorphismes entre des groupes de Cremona

À une variété projective $X$ on peut associer $Bir(X)$, le groupe de tous ses transformation birationnelles. Dans cet exposé on s'intéresse à la question comment on peut plonger $Bir(P^2)$, le groupe des transformations birationnelles du plan projective, dans d'autres groupes de transformations birationnelles. En particulier je donnerai une classification de tous les plongements algébriques de $Bir(P^2)$ dans $Bir(X)$, où $X$ est une variété projective de dimension 3. Puis j'expliquerai un exemple de Gizatullin d'un plongement de $Bir(P^2)$ vers $Bir(P^5)$.

Un groupe de Baumslag-Solitar est un groupe dont la présentation est $BS(p,q)= \langle a, c \ | \ ca^pc^{-1}=a^q\rangle$. A chaque groupe de Baumslag-Solitar est associé un espace de déformation d'actions sur des arbres analogue à l'outre-espace. Nous nous intéresserons au cas plus complexe où $q$ est un multiple de $p$ et nous démontrerons que tout automorphisme est à croissance soit polynomiale soit exponentielle en nous appuyant sur l'action des automorphismes sur cet espace de déformation.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la propriété (T) relative à l'espace (ou rigidité au sens de Popa) d'actions de groupes dénombrables sur des espaces de probabilité standards. Ces dix dernières années, cette propriété a permis de résoudre de nombreux problèmes dans le cadre de la théorie ergodique des actions de groupes et des algèbres de von Neumann. Néanmoins, certains aspects théoriques de cette notion restent largement mystérieux. Une question encore ouverte consiste à déterminer si les groupes non-moyennables admettent tous une action libre ergodique p.m.p. ayant la propriété (T) relative à l'espace. Après avoir introduit quelques notions liées à la propriété (T) relative à l'espace, nous montrerons que les groupes de type fini non-moyennables linéaires sur un corps de caractéristique nulle admettent une action ergodique p.m.p. possédant cette propriété.

A vector field $X$ is called a star flow if every periodic orbit of any vector field $C^1$-close to $X$ is hyperbolic. It is known that an isolated chain recurrent class of a star flow $X$ on a 3 or 4 manifold are either hyperbolic, or singular hyperbolic (Morales, pacifico pujals for 3 manifolds and Ming Li, Shaobo Gan and Lan Wen on 4-manifolds). Moreover, it was recently proven by Yi Shi Shaobo Gan and Lan Wen for every chain recurrent class $C$ of $X$ a generic star flow $X$, if all singularities in $C$ have the same index, then the chain recurrent set of X is singular hyperbolic. In this talk we will concentrate in Starflows in dimension bigger than 4, that might have singularities of different indexes in the same chainclass.

A toute surface $S$ fermée orientable de genre au moins deux, on définit l’espace de Teichmüller $\mathcal T (S)$. Cet espace, qui classifie les structures hyper- boliques (ou conformes) sur $S$, est topologiquement une boule ouverte (de dimension $6g − 6$) qui possède de nombreuses compactifications. L’une d’elles est définie par un invariant conforme, la longueur extrémale, et on l’appelle la compactification de Gardiner-Masur. Dans cet exposé, on introduira les déformations horocycliques dans $\mathcal T (S)$, un analogue des tremblements de terre, et on s’intéressera à la convergence de telles déformations dans le bord de Gardiner-Masur. On verra en particulier le lien avec la convergence des rayons de Teichmüller vers une classe projective d’un feuilletage mesuré.

The set of simple closed geodesics on hyperbolic surfaces are related to different aspects of geometric and dynamical properties of moduli spaces and have many remarkable known properties. Among these is a result of J. Birman and C. Series which states that the set of simple complete geodesics has Haussdorf dimension 1. In particular the set is nowhere dense, in stark contrast to the case of closed geodesics which are dense in the unit tangent bundle. Together with P. Buser, we’ve produced quantitive versions of this non-density. More specifically, in a given region of the surface, we show the existence of closed disks disjoint from all simple complete geodesics and with a radius that depends only on the topology of the surface.

Soit $\Gamma$ un réseau hyperbolique complexe uniforme, c'est à dire un sous-groupe discret de $SU(n,1)$ agissant de manière cocompacte sur l'espace hyperbolique complexe $SU(n,1)/U(n)$. Si $\rho$ est une représentation, i.e. un morphisme, de $\Gamma$ dans un groupe de Lie semisimple de type hermitien, l'invariant de Toledo fournit une mesure de la "taille complexe" de $\rho$. Les représentations maximales sont celles qui maximisent cet invariant. Nous montrons que si $\rho$ est une représentation maximale de $\Gamma$ dans un groupe hermitien classique $G$, et si $n\geq 2$, alors nécessairement $G=SU(p,q)$ avec $p\geq nq$, et il existe un plongement $\rho$-équivariant, holomorphe ou antiholomorphe, totalement géodésique et homothétique, de l'espace hyperbolique complexe dans l'espace symétrique associé à G. De manière équivalente, à indice fini près et modulo une représentation dans un groupe compact, la représentation $\rho$ s'étend en un morphisme de $SU(n,1)$ dans $G$. La preuve utilise la théorie des fibrés de Higgs associés aux représentations des groupes Kähler ainsi que la dynamique et la géométrie du feuilletage tautologique sur le projectifié du fibré tangent des variétés hyperboliques complexes. Il s’agit d'un travail en collaboration avec Vincent Koziarz.

Nous cherchons les métriques sur le tore $\mathbf T^2$ qui sont de "complexité minimale". Dans cet exposé, nous nous intéressons à la complexité "dynamique" des métriques, c'est-à-dire l'entropie du flot géodésique qui leur est associé. Nous verrons d'abord que l'entropie usuelle (topologique) peut s'annuler pour des systèmes géodésiques de complexités a priori non équivalentes sur pour des systèmes géodésiques de complexités a priori non équivalentes sur $\mathbf T^2$ : par exemple les tores plats et les tores de révolution. Nous utilisons donc un outil plus fin - l'entropie polynomiale - pour détecter les métriques de complexité minimale. Nous montrons que celles-ci sont exactement les métriques plates. C'est un travail en collaboration avec Patrick Bernard.

Almost fifty years ago, Sinai developed a program to analyze Gibbs measures for uniformly hyperbolic systems: firstly build a symbolic representation, then push properties of the symbolic model to the uniformly hyperbolic one. Recently this program is being applied to low dimensional non-uniformly hyperbolic systems: for surface diffeomorphisms by Sarig, and for 3-dim flows without fixed points by Sarig and myself. In this talk we will discuss the main results in this program, and some applications: counting of closed orbits, countability of hyperbolic equilibrium measures, and their ergodic properties. One of the applications is a joint work with Ledrappier and Sarig: the measure of maximal entropy for the geodesic flow on a surface with nonpositive and non-identically zero curvature is Bernoulli.

(travail en commun avec François Béguin et Sylvain Crovisier) Considérons un homéomorphisme $h$ d'une surface $S$. Nous dirons qu'un ensemble $F$ de points fixes de $h$ est non enlacé s'il existe une isotopie de l'identité à h qui fixe tous les points de $F$. Motivés par la théorie des feuilletages transverses de Patrice Le Calvez, nous montrons l'existence d'ensemble non-enlacés qui sont maximaux au sens de l'inclusion. Notre critère de non-enlacement conduit aussi au corollaire suivant : pour toute partie $F$ fermée et connexe de la sphère, l'espace des homéomorphismes de la sphère qui préservent l'orientation et qui fixent tous les points de $F$ est connexe par arcs.

The classical De Finetti Theorem (1937) states that an exchangeable collection of random variables is a mixture of Bernoulli sequences. The first result of the talk is that determinantal point processes on Z induced by integrable kernels are quasi-invariant under the action of the infinite symmetric group. The Radon-Nikodym derivative is a regularized multiplicative functional on the space of configurations. A key example is the discrete sine-process of Borodin, Okounkov and Olshanski. The second result is a continuous counterpart of the first: namely, it is proved that determinantal point processes with integrable kernles on R, a class that includes processes arising in random matrix theory such as Dyson's sine-process, or the processes with the Bessel kernel or the Airy kernel studied by Tracy and Widom, are quasi-invariant under the action of the group of diffeomorphisms of the line with compact support. While no analogues of these results in higher dimensions are known, in joint work with Yanqi Qiu it is shown that for determinantal point processes corresponding to Hilbert spaces of holomorphic functions on the complex plane C or on the unit disk D, the quasi-invariance under the action of the group of diffeomorphisms with compact support also holds.

Graphical small cancellation theory is a tool for constructing finitely generated groups with prescribed subgraphs embedded in their Cayley graphs. It has provided the only known counterexamples to the Baum-Connes conjecture with coefficients and the only known non-coarsely amenable groups. I will present a purely combinatorial approach to the theory, which is more general and allows more flexibility than prior interpretations. I will explain that this approach produces groups with coarsely embedded prescribed infinite sequences of finite graphs. Therefore, it yields groups with the properties mentioned above. I will discuss that the resulting infinitely presented groups are acylindrically hyperbolic (joint work with A. Sisto). This generalization of the notion of Gromov hyperbolicity has strong analytic, algebraic, and geometric implications. The arguments rely on the Euler characteristic formula for planar 2-complexes and on a characterization of Gromov hyperbolic graphs through linear isoperimetric inequalities.

Various problems from group theory, geometry and combinatorics motivate the study of the natural action of the group $\operatorname{Aut}(F_n)$ on the set $\operatorname{Epi}(F_n,G)$ of generating $n$-tuples in a group $G$ generated by at least $n$ elements. The main questions, raised in the context, are the transitivity and (non) amenability of this action. After an introduction to the subject, we will discuss some transitivity and (non) amenability results for various classes of groups.

Je présenterai un travail en collaboration avec Jérôme Buzzi et Omri Sarig : les difféomorphismes lisses de surface n'ont qu'un nombre fini de mesures d'entropie maximale ergodiques.

One of the classical theorems in complex analysis is the Picard's theorem stating that a non-constant entire holomorphic map from the complex plane to the Riemann sphere omits at most two points. In the late 1960's and early 1970's, results of Reshetnyak and Martio-Rickman-Väisälä showed that mappings of bounded distortion, also called as quasiregular mappings, can be viewed as a counterpart for holomorphic mappings in quasiconformal geometry. One of the natural goals from the very beginning in this theory was obtain Picard-type results. In 1980, Rickman showed that a non-constant quasiregular mapping from the Euclidean n-space to the n-sphere omits only finitely many points, where the number depends only on the dimension and distortion. The sharpness of Rickman's theorem was not as simple issue as in the classical Picard theorem. In 1984, Rickman showed by a surprising and elaborate construction that given any finite set in the 3-sphere there exists a quasiregular from the Euclidean 3-space into the 3-sphere omitting exactly that set. In this talk, I will discuss joint work with David Drasin on the sharpness of Rickman's Picard theorem in all dimensions. Especially, I will discuss the role of bilipschitz geometry in the proof which leads to a stronger statement on the metric properties of the map and is a crucial ingredient in dimensions $n > 3$.

We show that the boundary of a one-ended simply connected at infinity hyperbolic group with enough codimension-1 surface subgroups is homeomorphic to a sphere. By works of Markovic and Kahn-Markovic our result gives a new characterization of groups which are virtually fundamental groups of hyperbolic 3-manifolds. Joint work with B. Beeker.

Le graphe des flips d'une surface pointée orientable est un graphe dont les sommets sont données par les triangulations idéales de la surface et dont les arets sont donnés par les flips. La combinatoire de ce graphe est centrale dans des travaux de Thurston et dans la théorie de Teichmuller decorée de Penner. Dans cet exposé on parlera des proprietées géométriques du graphe des flips, en particulier on montrera que ça donne un modèle quasi-isométrique du groupe modulaire dans lequel le stabilisateurs des multiarcs sont convexes. En plus, on donnera des bornes sur la croissance du diamètre du quotient du graphe de flips par le groupe modulaire qui generalisent des resultats de Sleator-Tarjan-Thurston. Travail en collaboration avec Hugo Parlier.

Given two different random walks on the same group, a priory there is no reason to expect them to have the same Poisson boundary. We shall show that there is a natural class of transformations of random walks (determined by ordinary or, more generally, randomized stopping times) which do not change the Poisson boundary. The related questions and conjectures will also be discussed.

En théorie des représentations, la notion d’irréductibilité est une des premières notions fondamentales que l’on rencontre. Un théorème ergodique de U. Bader et R. Muchnik, généralisant le théorème de Birkhoff-von Neumann pour des représentations de groupes discrets agissant sur le bord d’un espace à courbure négative, équipé des densités de Patterson-Sullivan a pour conséquence immédiate l’irréductibilité de ces représentations. Nous présenterons un autre théorème ergodique à la Bader-Muchnik pour des classes de mesures généralisant les mesures de Patterson-Sullivan apparaissant dans le formalisme thermodynamique duquel nous déduisons l’irréductibilité de la représentation associée. Nous essaierons aussi de présenter un lien établit entre ces théorèmes et la "monotonie" de Steger et Kuhn dans le cas du groupe libre.

Let $G$ be a group, let $F$ be a family of subgroups of $G$ and consider the following general problem: Is there a cohomological characterization of which groups $G$ can act on a simplicial tree $T$ such that the stabilizers of the action are contained in $F$ and every subgroup in $F$ fixes a point on $T$? When $F$ contains only the trivial subgroup, then a classical theorem by Stalling and Swan says that a group acts freely on a tree if and only if it has cohomological dimension at most one. Generalizing this setup from free action to proper actions, Dunwoody proves that a group acts with finite stabilizers on a tree if and only if $G$ has rational cohomological dimension at most one. In this talk I will present a solution to the general problem in the case where $F$ is the family of virtually cyclic subgroups of a given group.

I will describe a “cubical flat torus theorem” for a group $G$ acting properly and cocompactly on a CAT(0) cube complex. This states that every “highest” free abelian subgroup of $G$ acts properly and cocompactly on a convex subcomplex that is quasi-isometric to a Euclidean space. I will describe some simple consequences, as well as the original motivation which was to prove the “bounded packing property” for cyclic subgroups of $G$. This is joint work with Daniel Woodhouse.

On peut souvent utiliser la géométrie d'un groupe pour étudier sa structure algébrique. Par exemple, un célèbre théorème de Gromov dit qu'un groupe de type fini à croissance polynomiale est virtuellement nilpotent. Pendant cet exposé je parlerai de certaines relations entre les marches aléatoires et les applications harmoniques sur un groupe, et ses propriétés algébriques et géométriques. En particulier, je montrerai que l'espace des applications harmoniques sur un groupe est de dimension finie si et seulement si ce groupe est virtuellement cyclique.

Les groupes agissant proprement et cocompactement sur des espaces métriques à courbure négative ou nulle ont beaucoup de bonnes propriétés. Dans le cas des groupes de tresses d'au plus 6 brins, j'expliquerai comment ils agissent sur un complexe simplicial CAT(0) (travail avec D.Kielak et P.Schwer). En revanche, je montrerai que si on considère les complexes cubiques CAT(0), seul le groupe de tresses à 3 brins peut agir dessus. Je montrerai comment ce dernier résultat s'étend aux groupes d'Artin et aux groupes modulaires de surfaces.

Le flot géodésique sur une variété de courbure négative (pas forcément constante) est un modèle de “dynamique très chaotique”. En utilisant l'analyse semi-classique on montrera que le champ de vecteur qui génère ce flot a un spectre discret intrinsèque dans des espaces de Sobolev spécifiques. Ce spectre, appelé “résonances de Ruelle”, gouverne l'expansion asymptotique des fonctions de corrélations dynamiques. Il est structuré en bandes séparées par des gaps. Nous expliquerons qu'une fonction “zêta semi-classique” (ou fonction “zêta de Gutzwiller Voros”) relie ce spectre aux longueurs des orbites fermées et qu'elle généralise la fonction zêta de Selberg au cas courbure non constante. On peut interpréter ces résultats en disant que la dynamique quantique émerge des fonctions de corrélations classiques. (Travail avec Johannes Sjöstrand et Masato Tsujii.)

L'inégalité de Ruelle nous dit que pour tout difféomorphisme d'une variété compacte et pour toute mesure de probabilité invariante ergodique, l'entropie mesurée est majorée par la somme des exposants de Lyapounov positifs. Dans cet exposé je vous parlerai de la construction d'une famille de contre-exemples à cette inégalité lorsqu'on quitte l'hypothèse de compacité sur la variété.

On étudie la question d'identification d'une metrique Riemannienne sur une variété à bord à partir de la connaissance des longueurs des geodesiques reliant les points du bord

La composante de Hitchin est une composante connexe préférée de l'espace des représentations du groupe fondamental d'une surface hyperbolique fermée dans $\operatorname{SL}(d,\mathbf R)$. Cette composante de Hitchin est en quelque sorte un analogue pour $\operatorname{SL}(d,\mathbf R)$, de l'espace de Teichmüller de la surface. Dans un travail en commun avec Rafael Potrie (Montevideo) on étudie des propriétés de rigidité dans la composante de Hitchin, pour l'exposant critique dans l'espace symétrique $X$ de $\operatorname{SL}(d,\mathbf R)$, $$h_\rho=\lim_{t \to\infty} \frac 1t \log\#\{g\in\pi_1 S: d_X(o,\rho(g) o)