Séminaire Ergodique

15 septembre:

Adrien Le Boudec

(Orsay)

Groupes lacunaires hyperboliques

Les cônes asymptotiques d'un groupe (muni d'une métrique des mots) sont des espaces reflétant la géométrie à grande échelle du groupe. Un groupe $G$ est dit lacunaire hyperbolique s'il admet un cône asymptotique qui soit un arbre réel, ce qui, de manière informelle, signifie que $G$ semble être hyperbolique lorsqu'on le regarde à une certaine échelle.

Olshanskii, Osin et Sapir ont donné des exemples de groupes lacunaires hyperboliques de type fini possédant des propriétés très éloignées de celles des groupes hyperboliques, et ont caractérisé les groupes lacunaires hyperboliques en termes de limites directes de groupes hyperboliques.

Dans cet exposé j'aborderai l'étude des groupes lacunaires hyperboliques localement compacts, et énoncerai en application un résultat de rigidité sur la géométrie asymptotique des groupes de Lie.

22 septembre:

Louis Merlin

(Bordeaux)

Entropie minimale des espaces localement symétriques

L'entropie volumique est le taux de croissance exponentielle du volume des boules dans une variété riemannienne. Une conjecture de Gromov et Katok du début des années 80 prétend que la connaissance de l'entropie donne accès à beaucoup d'informations sur la géométrie ambiante, en particulier dans le cas des espaces localement symétriques.

Je présenterai ce problème ainsi que les conséquences que l'on peut espérer déduire de sa résolution. Un point de vue récent permet de traiter le cas des quotients compacts de $\mathbb{H}^2\times\mathbb{H}^2$.

29 septembre:

Jérôme Buzzi

(Orsay)

Structures presque boréliennes de difféomorphismes faiblement hyperboliques

Avec Mike BOYLE nous étendons un travail de Mike Hochman et étudions les mesures invariantes de probabilité d'entropie non-nulle de systèmes symboliques (les chaînes de Markov topologiques et certains facteurs continus) et de difféomorphismes (sous une hypothèse d'hyperbolicité toujours satisfaite en dimension 2).

6 octobre:

Cyril Houdayer

(Paris Est)

Groupes de Baumslag-Solitar, complétions profinies relatives et rigidité en équivalence mesurée

Dans cet exposé, je montrerai que pour une large classe d'actions préservant une mesure de probabilités, libres, ergodiques des groupes de Baumslag-Solitar non-moyennables, la relation d'équivalence orbitale associée se souvient de la classe d'isomorphisme du groupe.

La preuve utilise un nouvel invariant d'équivalence orbitale associé aux actions des groupes de Baumslag-Solitar : la complétion profinie relative. C'est un travail en collaboration avec Sven Raum.

13 octobre:

Christophe Moioli

(Toulouse)

Graphes de groupes et groupes co-hopfiens

Un groupe est dit co-hopfien si tout endomorphisme injectif de ce groupe est un automorphisme. En utilisant la théorie de Bass-Serre, nous montrons sous quelles conditions certains graphes de groupes, ayant leurs groupes d'arêtes finis, ont des groupes fondamentaux co-hopfiens.

Cela nous donnera en particulier une caractérisation des groupes virtuellement libres co-hopfiens. On peut aussi appliquer ces résultats aux groupes hyperboliques. Il faut pour cela généraliser un résultat de Z. Séla au cas avec torsion des groupes hyperboliques à un bout en utilisant le JSJ de B. Bowditch.

Nous montrons alors que tout groupe hyperbolique à un bout est co-hopfien. Nous terminons avec un algorithme général décidant, étant donné un groupe hyperbolique, si ce groupe est co-hopfien ou non.

20 octobre:

Pierre-Antoine Guihéneuf

(Orsay)

Propriétés ergodiques des discrétisations spatiales de systèmes dynamiques génériques.

On se donne une application continue $f$ d'un espace compact $X$ dans lui-même. Une question naturelle est de se demander ce qui se passe lorsqu'on itère $f$ à l'aide d'un ordinateur. Plus précisément, on se donne une grille sur $X$ et on étudie la dynamique de la discrétisation (en un sens à définir) de $f$ sur cette grille ; on se demande notamment si cette dynamique est proche de celle de l'application de départ $f$.

Au cours de cet exposé, nous illustrerons le comportement dynamique de ces discrétisations par leurs propriétés ergodiques. Après avoir motivé l'étude des applications génériques, nous étudierons le cas des homéomorphismes génériques de variétés compactes, avec et sans hypothèse de préservation d'une bonne mesure. Si le temps le permet, nous aborderons ensuite le cas de la régularité supérieure.

3 novembre:

Daniel Monclair

(ENS Lyon)

Difféomorphismes du cercle qui préservent l'aire.

Une des façons de comprendre une action de groupe consiste à étudier les actions induites sur les $n$-uplets de points distincts. Ceci permet de produire d'autres actions du même groupe aux propriétés (récurrence, minimalité, ergodicité...) différentes.

Par exemple, étant donné un groupe qui agit sur le cercle par difféomorphismes, on peut se demander si l'action sur les paires de points préserve une forme d'aire. Après avoir vu que dans ce cas il existe toujours un homéomorphisme du cercle qui conjugue l'action à l'action projective d'un sous-groupe de $\textrm{PSL}(2,\mathbb{R})$, nous étudierons la différentiabilité de cette conjugaison.

10 novembre:

Rémi Coulon

(3ème gauche)

Quotients périodiques partiels de groupes munis d'une action sur un espace hyperbolique.

Étant donné une surface fermée de genre supérieure à 2 on s'intéresse à son groupe modulaire $G$. Ivanov demande s'il existe un entier $n$ pour lequel le quotient de $G$ par le sous-groupe normal engendré par les puissances $n$-ièmes de tous ses éléments est infini ? La réponse est positive en genre 2.

Le but de cet exposé est de comprendre pour une surface de genre quelonque à quoi ressemble le groupe obtenu en quotientant $G$ par les puissances $n$-ièmes prises dans une grande partie de $G$ (tous les twists de Dehn ou tous les homéomorphismes pseudo-Anosov). On verra qu'un tel groupe peut s'étudier via l'action du groupe modulaire sur le complexe des courbes associés.

De manière plus général, dès qu'un groupe agit de manière raisonnable sur un espace hyperbolique on peut construire des quotients similaires aux propriétés remarquables.

17 novembre:

François Le Maître

(Louvain-la-Neuve)

Équivalence orbitale et rang topologique des groupes pleins

En équivalence orbitale, on étudie les actions de groupes en retenant uniquement la partition de l'espace en orbites induite par l'action, autrement dit en retenant la relation d'équivalence "être dans la même orbite". Dans le cadre des actions ergodiques préservant une mesure de probabilités, il se trouve que cette relation d'équivalence est entièrement capturée par un groupe topologique, le groupe plein de la relation d'équivalence.

Les propriétés du groupe plein sont alors autant d'invariants d'équivalence orbitale. On s'intéressera ici au rang topologique du groupe plein, i.e. le nombre minimal d'éléments nécessaires pour engendrer un sous groupe dense. On verra qu'il est très étroitement relié à un invariant fondamental d'équivalence orbitale: le coût.

24 novembre:

Xavier Bressaud

(Toulouse)

Jeux répétés markoviens avec défaut d'information asymétrique.

(Travail avec Anthony Quas). Nous proposons une extension de résultats de Johannes Hörner, Dinah Rosenberg, Eilon Solan et Nicolas Vieille concernant la valeur et les strategies optimales pour un jeu répété Markovien avec défaut d'information d'un coté introduit par Jérome Renault. Elle est permise par l'étude du système dynamique représentant l'évolution de la croyance du joueur le moins bien informé sur l'état du jeu.

1 décembre (À la bibliothèque):

Emmanuel Breuillard

(Orsay)

Croissance des groupes, convolutions de Bernoulli et conjecture de Lehmer.

Nous nous intéressons aux convolutions de Bernoulli $\sum_{n \geqslant 0} \pm \lambda^n$. Lorsque $\lambda$ est algébrique, nous étudions l'entropie de la marche aléatoire associée et montrons qu'elle est comparable à la mesure de Mahler de $\lambda$, ce qui permet de réinterpréter la conjecture de Lehmer en termes d'entropie et de croissance des groupes. Les techniques reposent sur certaines estimées de combinatoire additive et leurs analogues entropiques. Il s'agit d'un travail en commun avec Peter Varju.

9 décembre (Séminaire à 10 h 30):

Anders Karlsson

(Genève)

Elements of a metric spectral theory.

Metric functionals, more commonly called horofunctions, at least for proper spaces, are to metric spaces what continuous linear functionals are to topological vector spaces. There is one statement that can be established in this general metric context and which has wide applicability. Certain known theorems in a variety of contexts can be deduced and extended from it, including the mean ergodic theorem, the Wolff-Denjoy theorem in complex analysis, and the spectral theorem of Thurston for surface homeomorphisms.

15 décembre:

Romain Aimino

(Marseille CPT)

Lemmes dynamiques de Borel-Cantelli pour la transformation de Rauzy-Veech-Zorich

La transformation de Rauzy-Veech-Zorich est une version accélérée de l'induction classique de Rauzy sur l'espace des échanges d'intervalle. Je montrerai que l'opérateur de transfert d'une transformation induite de celle-ci admet un trou spectral sur un espace de fonctions de type Quasi-Hölder et décrirai une application de ce résultat aux lemmes dynamiques de Borel-Cantelli.

Ces derniers peuvent être décrits comme suit : si $(X,T,\mu)$ est un système dynamique dans un espace métrique, et si $(A_n)$ est une suite décroissante de boules telle que $\sum \mu(A_n)$ diverge, a-t-on que $\mu$-presque tout point $x$ vérifie $T^n x \in A_n$ infiniment souvent, et si oui, peut-on quantifier plus précisement ce phénomène ?

12 janvier:

Nicolas Tholozan

(Luxembourg)

Domination des représentations d'un groupe de surface

Pour étudier les représentations d'un groupe de surface, il est intéressant de les comparer à des représentations fuchsiennes. Soit $S$ une surface compacte orientée de genre supérieur à $2$ et $M$ une variété riemannienne. Si $j$ est une représentation fuchsienne de $\pi_1(S)$ dans $\mathrm{Isom}(\mathbb{H}^2)$ et $\rho$ une représentation de $\pi_1(S)$ dans $\mathrm{Isom}(M)$, on dira que $j$ domine strictement $\rho$ s'il existe une application $(j,\rho)$-équivariante et contractante de $\mathbb{H}^2$ dans $M$.

Si $M$ est complet, simplement connexe et de courbure sectionnelle inférieure à $-1$ (par exemple lorsque $M$ est l'espace hyperbolique de dimension $d$). Alors l'ensemble des représentations fuchsiennes $j$ qui dominent strictement une représentation $\rho$ donnée forme un ouvert non vide et contractile de l'espace de Teichmuller (sauf lorsque $\rho$ est elle-même ``fuchsienne'' en un certain sens).

Nous expliquerons les idées de la preuve de ce résultat, qui utilise la théorie des applications harmoniques tordues, et nous discuterons de ses diverses conséquences, en particulier concernant l'espace des variétés anti-de Sitter compactes de dimension $3$.

19 janvier:

Sébastien Martineau

(ENS Lyon)

Sur l'ergodicité en équivalence orbitale et l'indistinguabilité en percolation

Faites agir un groupe dénombrable sur $[0,1]$ en préservant la mesure de Lebesgue et ne retenez de cette action que la partition en orbites qu'elle induit. Quelles situations êtes-vous encore capables de distinguer ? Cette question est au cœur de la théorie de l'équivalence orbitale.

Prenez un graphe et effacez au hasard des arêtes dans ce graphe. Que pouvez-vous dire des composantes connexes du graphe ainsi morcelé ? Cette fois-ci, vous faites de la percolation.

Cet exposé se place à l'intersection de ces deux thématiques. On y rencontrera deux théorèmes difficiles. L'un, dû à Chifan et Ioana, stipule que, dans certaines situations, l'ergodicité implique automatiquement une forme renforcée d'ergodicité. L'autre, dû à Lyons et Schramm, dit que, pour certaines percolations, les composantes connexes infinies sont indistinguables : quelle que soit la question raisonnable que vous vous posiez sur une composante (*), les composantes infinies s'accorderont presque sûrement toutes sur sa réponse. On verra comment déduire de ces deux théorèmes un théorème d'indistinguabilité forte en percolation.

(*) : La composante considérée est-elle à croissance exponentielle ? Est-elle transiente ? Contient-elle un graphe complet de taille huit ?

26 janvier:

Jean Lécureux

(Orsay)

Sous-groupes aléatoires invariants moyennables

Soit $G$ un groupe localement compact. Un sous-groupe aléatoire invariant (ou IRS pour Invariant Random Subgroup) de $G$ est une mesure de probabilité sur l'espace (compact) des sous-groupes de $G$ qui est invariante par conjugaison. La notion d'IRS est apparu pour la première fois dans un article de Abert, Glasner et Virag, et a trouvé depuis plusieurs applications.

Nous répondons positivement à une question posée par ces auteurs, en démontrant le résultat suivant : si, presque sûrement, tout sous-groupe de $G$ est moyennable, alors l'IRS est supporté sur un sous-groupe moyennable normal de $G$. C'est un travail en commun avec Uri Bader et Bruno Duchesne. Si le temps le permet, je discuterai d'un résultat lié de densité des IRS dans un groupe agissant sur un espace CAT(0).

2 février:

Julien Bichon

(Clermont-Ferrand)

Groupes quantiques de permutations

La première partie de l'exposé présentera des rappels (pas trop techniques j'espère) sur les groupes quantiques compacts, des objets dont l'étude permet d'englober dans un même cadre des problèmes à priori divers de théorie des invariants des groupes compacts et de marches aléatoires sur le graphe de Cayley d'un groupe discret.

On s'intéressera ensuite aux groupes quantiques de permutations, qui sont les groupes quantiques compacts agissant fidèlement sur l'espace classique à n points. De manière surprenante, il peuvent être infinis si $n>3$ (Wang). Je présenterai leur classification dans le cas $n=4$ (travail avec T. Banica).

9 février:

Junyi Xie

(3ème)

The Dynamical Mordell-Lang Conjecture

We prove the Dynamical Mordell-Lang Conjecture for polynomial endomorphisms on the affine plane. In other word, we prove the following result: Let $k$ the algeraic closure of the field of rational numbers. Let $f$ be any polynomial endomorphism on the affine plane defined over $k$, $C$ be any curve in the plane defined over $k$ and $p$ be any point defined over k. The set of non negative numbers $n$ such that $C$ contains $f^n(p)$ is a finite union of arithmetic progressions.

16 février:

Rizos Sklinos

(Lyon)

Forking independence through complexes of curves

This talk lies on the intersection of geometric group theory with model theory. An interaction between the two disciplines was initiated mostly by the profound work of Z. Sela on Tarski's problem about the equality of the first order theories of non-Abelian free groups.

A stable first-order theory is a first-order theory that supports a sufficiently nice independence relation, called forking independence. Examples include algebraic independence in algebraically closed fields and linear independence in vector spaces. Sela completely changed the picture of stable groups (i.e. groups definable in a stable theory) when he proved that torsion-free hyperbolic groups have a stable first order theory. The only known families of stable groups up till then were Abelian groups and algebraic groups (over algebraically closed fields).

In a joint work with C. Perin we give a geometric interpretation of forking independence in non-Abelian free groups. Curve complexes played a fundamental role in our proof, and simple cases of how the proof works will be presented in this talk. No prior knowledge of first order logic will be assumed.

23 février:

Olivier Glorieux

(Jussieu)

Exposants critiques des groupes de surfaces agissant sur $\mathbb{H}^2\times \mathbb{H}^2$

L'exposant critique d'un groupe agissant sur un espace à courbure négative est un invariant qui a été amplement étudié. Dans cet exposé on s'intéressera à l'exposant critique pour l'action diagonale, par deux représentations dans l'espace de Teichmüller, d'un groupe de surface sur le produit $\mathbb{H}^2\times \mathbb{H}^2$, muni de la métrique de Manhattan.

Un résultat de Bishop - Steger caractérise le fait que les deux représentations soient conjuguées en terme d'exposant critique. Nous montrerons comment ce résultat admet une généralisation "quantitative" en présentant un théorème d'isolation de l'exposant critique.

Tout au long de l'exposé nous expliquerons les différentes notions utilisées dans la preuve : l'exposant critique directionnel, les tremblement de Terre et un théorème de grande déviation du flot géodésique.

2 mars:

Pierre Arnoux

(Luminy)

Mesures invariantes pour des fractions continues homographiques par morceaux

Nous donnons une heuristique permettant de construire explicitement une extension naturelle et une mesure invariante pour des développements en fraction continue définis par des homographies par morceaux. Cette heuristique repose sur un théorème de point fixe permettant de construire un unique compact invariant pour un modèle potentiel de l'extension naturelle cherchée. Nous donnerons plusieurs exemples où cette heuristique fournit effectivement une telle extension naturelle préservant la mesure de Lebesgue.

9 mars:

Julien Brémont

(Paris Est)

Marches aléatoires dans le plan en milieu invariant par translations horizontales

On s'intéresse à un modèle de marche aléatoire dans le plan en milieu invariant par translation horizontale. Nous donnons un critère de récurrence général. Plusieurs cas particuliers sont ensuite envisagés, par exemple lorsque l'environnement est produit par un système dynamique.

23 mars:

Laura Ciobanu

(Neuchâtel)

Graphes de Cayley de groupes relativement hyperboliques

Dans mon exposé, j'expliquerai comment, étant donné un groupe $G$ finiment engendré et relativement hyperbolique, on peut construire un système fini de générateurs $X$ tel que $(G, X)$ vérifie certaines propriétés métriques que possèdent les sous-groupes paraboliques de $G$. Je présenterai également des applications de ces résultats aux séries de croissance, au language des géodésiques, aux structures bi-automatiques et au problème de conjugaison. Ceci est un travail en collaboration avec Yago Antolin.

30 mars:

Mickael de la Salle

(ENS Lyon)

Actions extensivement moyennables

La moyennabilité extensive est une propriété d'une action de groupe, intermédiaire entre la moyennabilité du groupe et la moyennabilité de l'action. J'expliquerai comment ce concept peut s'avérer utile pour établir la moyennabilité de nombreux groupes, comme certains groupes d'automates ou d'échanges d'intervalles. Il s'agit de collaborations avec Juschenko, Matte Bon, Monod et Nekrashevych.

27 avril:

Thomas Morzadec

(Orsay)

Dégénérescences de surfaces munies de structures plates

Une structure plate $[q]$ sur une surface $S$ est une métrique localement euclidienne avec des singularités coniques d'angles des multiples entiers supérieurs ou égaux à $3$ de $\pi$, telle que l'holonomie de tout lacet fermé disjoint des singularités est $Id$ ou $-Id$. Soit $C$ l'ensemble des classes d'homotopie libre de courbes fermées simples non triviales sur $S$. Si $c$ est un élément de $C$, il existe au moins une géodésique locale pour $[q]$ dans la classe de $c$, et on note $l([q],c)$ sa longueur.

On appelle spectre de $[q]$ l'ensemble ordonné $(l([q],c))$, avec $c$ dans $C$. Dans leur article "Length spectra and degeneration of flat metrics", Duchin-Rafi-Leininger ont montré que l'application qui à une structure plate associe son spectre est un plongement de l'espace des structures plates d'aire $1$ sur $S$ dans l'espace projectifié de l'ensemble des ensembles de réels positifs, non tous nuls, ordonnés par $C$. Comme cet espace projectifié est compact, on va chercher à décrire le bord de l'adhérence de l'image de l'espace des structures plates d'aire 1 dans cet espace.

L'article susnommé donne une description de ce bord de manière extrinsèque, en passant par des courants géodésiques sur le revêtement universel de $S$, à la manière de F. Bonahon pour les métriques hyperboliques.

Pour ma thèse, j'aborde la question en étudiant les limites asymptotiques des suites des relevés des structures plates au revêtement universel. Au cours de l'exposé, j'expliquerai comment on peut ainsi comprendre certaines dégénérescences de structures plates.

4 mai:

Xin Nie

(Tsinghua University)

Structures projectives convexes et formes méromorphes cubiques

Nous nous intéressons aux structures projectives réelles convexes sur une surface. D'abord nous expliquerons leur lien avec les formes holomorphes cubiques, en particulier un théorème de Labourie et Loftin. Puis nous présenterons une généralisation de ce théorème, en donnant une bijection entre l'espace de certaines structures projectives convexes sur une surface ouverte de type fini avec l'espace des formes méromorphes cubiques. Ceci étend les travaux récents de Benoist-Hulin et de Dumas-Wolf.

11 mai:

Pekka Pankka

(Jyväskylä)

Extremal quasiregularly elliptic manifolds have virtually abelian fundamental groups.

By Varopoulos' theorem, the fundamental group of a closed quasiregularly elliptic $n$-manifold has polynomial order of growth at most $n$. Thus, by Gromov's theorem, these groups are virtually nilpotent. Having this a priori knowledge, the existence of a quasiregular mapping from the Euclidean $n$-space into the manifold, however, can be used to obtain a sharper result on the fundamental groups. I will discuss a recent result with Rami Luisto showing that maximal growth of the group implies the group to be virtually abelian.

18 mai:

Hyungryul Baik

(Université de Bonn)

Convergence groups revisited

A discrete group of circle homeomorphisms is a Fuchsian group if and only if it is a convergence group (this is due to Tukia, Casson-Jungreis, Gabai, ...). We show that the convergence property can also be characterized in terms of invariant laminations on the circle, so this gives a new characterization of Fuchsian groups. We also discuss what can be said about fibered hyperbolic 3-manifold groups. The main motivation of the work is Thurston's universal circle theory.

1 juin:

Sylvain Arnt

(Orléans)

Actions isométriques affines et espaces à partitions pondérées

On considère le résultat suivant dû à Cherix-Martin-Valette et Chatterji-Drutu-Haglund : un groupe localement compact agit continûment proprement par isométries affines sur un espace de Hilbert si et seulement s'il agit proprement par automorphismes sur un espace à murs mesurés. On définira la notion d'espaces à partitions pondérées qui généralise celle d'espaces à murs mesurés afin d'établir un résultat analogue dans le cas des actions continues propres par isométries affines sur des espaces de Banach. Dans le cas Lp (propriété PLp), la structure d'espace à partitions pondérées permet d'étudier la stabilité de la propriété PLp par diverses constructions de groupes. En particulier, on discutera d'une généralisation d'un résultat de Cornulier-Stalder-Valette : le produit en couronne d'un groupe qui a la propriété PLp par un groupe Haagerup a la propriété PLp ; et on discutera également de la stabilité de la propriété PLp par produit amalgamé sur des sous-groupes finis.

8 juin:

Elisabeth Fink

(ULM)

Morse geodesics in lacunary hyperbolic groups

A geodesic is Morse if quasi-geodesics connecting points on it stay uniformly close. If the embedding of the cyclic subgroup generated by an element is a Morse geodesic, then that element is called a Morse element. In many known examples, Morse geodesics in groups have been found via Morse elements.

By studying asymptotic cones and using small cancellation, we will show how Morse geodesics can be exhibited in many lacunary hyperbolic groups, including Tarski monsters. This represents the first examples of groups that have Morse geodesics but no Morse elements. I will describe further properties of non-Morse geodesics and also show how a tree can be quasi-isometrically embedded into such groups.

29 juin:

Juan Souto

(3eme)

Counting geodesics in the punctured torus

Let $\gamma$ be a, possibly non-simple, closed geodesic in a hyperbolic punctured torus $X$ and let $n_{\gamma,X}(L)$ be the number of geodesics in $X$ in the mapping class group orbit of $\gamma$ and of length at most $L$.

I will prove that the limit when $L$ tends to $\infty$ of $\frac{n_{\gamma,X}(L)}{L^2}$ exists and that in fact, the ratio between any two such limits for different choices of $\gamma$ is independent of $X$. This is joint work with Viveka Erlandsson.

2013-2014	2012-2013	2011-2012	2010-2011
2009-2011	2008-2009	2007-2008

La page web du séminaire de Théorie Ergodique

Le séminaire a lieu le Lundi à 14h dans la Salle 16 du Batiment 22.

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