La page web du séminaire de Théorie Ergodique

16 septembre:

Andrew Sale

(Rennes)

A Geometric Version of the Conjugacy Problem in Semisimple Lie Groups.

For a finitely generated group, the conjugacy problem asks if there is an algorithm which determines whether a pair of elements are conjugate or not. Related to this is the question of understanding, for a given pair of conjugate elements, the family of conjugators between them. We focus in particular on estimating the minimal length of such an element, leading to the definition of the conjugacy length function of a group. This naturally extends beyond the reach of the conjugacy problem itself and can be asked of any group which admits a left-invariant metric. We will describe a result for pairs of hyperbolic elements in a semisimple Lie group and discuss the issue of extending results from here to their lattices.

23 septembre:

Marc Peigné

(Tours)

Sur la fonction orbitale de certains groupes géométriquement finis en courbure négative et mesure de Bowen-Margulis infinie.

30 septembre:

Kilian Raschel

(Tours)

Une histoire de la conjecture de Gessel (en combinatoire énumérative)

Imaginons un échiquier infini dans les directions Est et Nord, et sur cet échiquier figurons-nous un roi biaisé, se déplaçant à chaque coup dans l'une des directions Est, Sud-Ouest, Ouest ou Nord-Est. Le mathématicien américain Ira Gessel conjectura en 2001 une formule pour le nombre de possibilités pour le roi, partant du coin inférieur gauche de l'échiquier, d'y revenir après un nombre fixé de coups. Depuis l'énoncé de cette conjecture, en passant par la première preuve en 2008 (utilisant de façon cruciale la puissance des ordinateurs) et jusqu'à la première démonstration purement humaine en 2013, beaucoup de chercheurs se sont confrontés à ce problème, utilisant des approches mathématiques tout à fait différentes. Dans cet exposé nous retraçons l'histoire des tentatives de preuve de la conjecture de Gessel.

7 octobre:

Benoît Kloeckner

(Grenoble)

Une amélioration de l'inégalité de Günther

En collaboration avec G. Kuperberg, Université de Californie à Davis.

L'inégalité de Günther est la contrepartie de l'inégalité de Bishop : elle donne une minoration du volume des boules d'une variété à courbure sectionnelle majorée.

Il est insatisfaisant que l'hypothèse porte sur la courbure sectionnelle, alors que l'inégalité de Bishop ne nécessite de borner que celle de de Ricci. Le but de l'exposé est d'introduire une nouvelle courbure, assez proche de celle de Ricci, et de montrer qu'elle permet de contrôler par en-dessous le volume des boules.

Ceci a de nombreuses conséquences, sur le flot géodésique des variétés à courbure négative ou les inégalités isopérimétriques.

14 octobre:

Bertrand Rémy

(Lyon)

Immeubles et classes de quasi-isométrie de groupes simples.

On va présenter une classe de groupes simples de type fini agissant sur des complexes cellulaires avec des propriétés remarquables de symétrie : les immeubles. La géométrie de ces espaces sera introduite de façon à comprendre les grandes lignes des points suivants : preuve de la propriété du sous-groupe normal pour des groupes non linéaires, preuve de simplicité dans les cas favorables et mise en évidence d'une infinité de classes de quasi-isométrie de groupes simples de présentation finie. Les groupes considérés sont des réseaux dans des groupes localement compacts similaires aux groupes de Lie, mais ils sont non cocompacts, ce qui conduit à remplacer certains arguments classiques de théorie géométrique des groupes par des arguments plus "mesurables". C'est un travail en commun avec P.-E. Caprace.

21 octobre:

Ilia Smilga (Orsay)

Domaines fondamentaux pour les groupes de Schottky affines préservant une forme quadratique de signature $(2n+2, 2n+1)$.

Une conjecture due à Milnor demande si tout groupe de transformations affines réelles agissant de façon proprement discontinue est virtuellement résoluble. Margulis a démontré en 1983 que cette conjecture était fausse ; plus tard, Abels, Margulis et Soifer ont construit une famille de contre-exemples qui sont des groupes libres, préservant une forme quadratique de signature $(d+1, d)$ (avec $d$ impair). Nous allons construire explicitement un domaine fondamental pour ces groupes, ce qui permettra notamment de préciser la topologie de la variété quotient.

28 octobre:

Vacances

4 novembre:

Elise Goujard

(Rennes)

Constantes de Siegel-Veech pour les strates de différentielles quadratiques

Les constantes de Siegel-Veech apparaissent naturellement quand on veut compter les géodésiques fermées dans des surfaces plates. Elles sont liés à la dynamique du flot de Teichmüller sur l'espace de module des différentielles abéliennes, par le biais d'exposants de Lyapunov. Après avoir précisé ce lien, j'exposerai les principaux résultats connus dans le cas de différentielles abéliennes, et les difficultés du cas des différentielles quadratiques.

18 novembre:

Camille Horbez

(Rennes)

L'horofrontière de l'outre-espace

L'étude du groupe $Out(F_n)$ des automorphismes extérieurs d'un groupe libre de type fini s'est beaucoup développée grâce à l'étude de son action sur l'outre-espace $CV_n$ de Culler et Vogtmann. Dans cet exposé, je décrirai une compactification de cet espace définie au moyen d'horofonctions pour une distance asymétrique naturelle sur $CV_n$. Je présenterai une application de cette étude au comportement de marches aléatoires sur $Out(F_n)$, en décrivant le comportement typique de la croissance des éléments de $F_n$ sous l'effet de produits aléatoires d'automorphismes.

25 novembre:

Timothée Marquis

(Erlangen)

Étant donné un groupe de Coxeter $W$, je présenterai une description complète de ses classes de conjugaison (ou plutôt des classes de conjugaison d'un sous-groupe normal d'indice fini de $W$). La preuve de cette description est géométrique et fait appel à une réalisation CAT(0) du complexe de Coxeter associé à $W$. L'entièreté de l'exposé devrait être à un niveau élémentaire.

2 décembre:

Alessandro Carderi

(ENS Lyon)

Sous-algèbres maximales moyennables des algèbres de von Neumann associées aux groupes hyperboliques

Dans cet exposé, j'expliquerai comment il est possible d'utiliser l'action d'un groupe hyperbolique $G$ sur son compactifié de Gromov pour montrer que tout sous-groupe maximal moyennable de $G$ induit une sous-algèbre maximale moyennable de l'algèbre de von Neumann associée $LG$. Travail en collaboration avec Rémi Boutonnet.

9 décembre:

Groupe de Travail

Équivalence orbitale

16 décembre:

Gabriel Riviere

(Lille)

Décomposition ergodique et fonctions propres du Laplacien.

Sur une variété riemannienne compacte et sans bord, un théorème de Shnirelman montre que "la plupart des fonctions propres du Laplacien s'équidistribuent" dès que le flot géodésique est ergodique pour la mesure de Liouville. J'expliquerai comment généraliser ce résultat dans le cas où l'on ne fait plus d'hypothèse d'ergodicité et j'illustrerai le résultat dans différentes situations géométriques: variétés à courbure négative ou nulle, flots non uniformément hyperboliques, tore plat.

17 décembre:

Thibault Pillon

(Neuchâtel)

Compression $L^p$ de certaines extensions HNN

La classe des $\mathfrak{N}$-BS groupes a été introduite par Gal et Januszkiewicz comme une généralisation des groupes de Baumslag-Solitar. Dans leur article, ils établissent la propriété de Haagerup pour de tels groupes. Nous établirons que ces groupes ont un exposant de compression égal à 1.

6 janvier:

Yves Guivarc'h

(3ème)

Proximalités et trou spectral, marches aléatoires affines

13 janvier:

Katrin Gelfert

(Rio de Janeiro)

Lyapunov exponents in non-contracting iterated function systems

We study Lyapunov exponents for a family of genuinely non-contracting
iterated function systems. Depending on your point of view, these systems can also be seen also as partially hyperbolic and topologically transitive local diffeomorphisms that are step skew-products over a horseshoe map.

These maps are genuinely non-hyperbolic and the central Lyapunov spectrum contains negative and positive values. We show that in a first model, besides one gap, this spectrum is complete. We also investigate how Lyapunov regular points with corresponding (central) exponents are distributed in phase space.

The principal ingredients of our proofs are minimality of the underlying iterated function system and shadowing-like arguments. Joint work with L. Diaz (PUC Rio de Janeiro) and M. Rams (IM PAN Warsaw)

13 janvier:

Mathieu Carette (Exposé exceptionnel à 15h15)

(Université Mc Gill, Montréal)

Commabilité de groupes agissant sur des arbres

La relation de commabilité entre groupes discrets (et plus généralement localement compacts) est une notion naturelle se situant entre la commensurabilité et la quasi-isométrie. Pour de nombreuses classes de groupes, la quasi-isométrie s'avère être une conséquence de la commabilité.

Je décrirai la classe de commabilité des groupes libres, et présenterai des exemples de paires de groupes discrets quasi-isométriques mais pas commables obtenus en collaboration avec Romain Tessera.

20 janvier:

Gabriel Vigny

(Amiens)

Mesures de grande entropie portée par un courant positif fermé

Soit $f$ une application holomorphe de $\mathbb{P}^2$ de degré $d$ et $S$ un courant positif fermé de bidegrée $(1,1)$. On considère une mesure $\nu$ ergodique d'entropie $>\log d$ portée par le support de $S$. On définit des dimensions pour la mesure $\nu$ et pour la mesure trace de $S$ sur le support de $\nu$. On donne alors des inégalités à la Mané sur les exposants de Lyapunov de la mesure $\nu$ à l'aide de ces dimensions. Je donnerai alors quelques conséquences dynamiques de ces inégalités. L'exposé commencera par des rappels et un panorama de la théorie de la dimension en dynamique complexe. il s'agit d'un travail en commun avec Henry de Thélin.

27 janvier:

Damien Gaboriau

(ENS Lyon)

Coût de dimension supérieure et gradient de déficience pour des groupes tels que $SL(n,\mathbb{Z})$, $MCG$ et groupes limites

3 février:

Frédéric Paulin

(Orsay)

Sur le comptage orbital hyperbolique dans des classes de conjugaison

Développant des cas particuliers de Huber, nous étudions la croissance asymptotique quand $t$ tend vers l'infini du nombre d'images d'un point fixé, à distance au plus $t$ de celui-ci, par des éléments d'une classe de conjugaison fixée d'un groupe discret d'isométries en courbure strictement négative. Il s'agit d'un travail en commun avec Jouni Parkkonen.

3 février:

Ryokichi Tanaka (Exposé exceptionnel à 15h15)

(Université Tohuku)

Discrete random walks on the group $Sol$

The asymptotic behavior of a random walk on a solvable group is described by the harmonic measure induced on the boundary.

In the case of the group $Sol$, we prove that for any non-abelian countable subgroup, there exists a probability measure which produces a purely singular harmonic measure with respect to Lebesgue measure.

On the contrary, there exists a finitely supported probability measure whose harmonic measure is absolutely continuous, and the density can be $C^k$-class for arbitrary $k$. The regularity results are obtained by comparison with Bernoulli convolutions.

This is joint work with Jérémie Brieussel (Montpellier).

10 février:

Talia Fernos

(Greensboro)

La Frontière Poisson-Furstenberg et les Complexes Cubiques CAT(0)

La frontière Poisson-Furstenberg d'une marche aléatoire sur un groupe est un objet important souvent employé dans les preuves de rigidité. Nous généraliserons un résultat de Nevo et Sageev de la façon suivante: si un groupe G, finiment engendré, admet une action propre non élémentaire sur $X$ un complexe cubique CAT(0) de dimension finie alors pour toute marche aléatoire (de support plein), il existe une mesure de Borel sur la frontière de Roller de $X$ qui en fasse la frontière de Poisson-Furstenberg de la marche aléatoire sur $G$. Dans cet exposé, nous discuterons la preuve de ce théorème et ses liens avec les récents résultats de super-rigidité de Chatterji-Fernós-Iozzi.

17 février:

Sébastien Alvarez

(Dijon)

Mesures de Gibbs pour le flot géodésique feuilleté

Nous définirons une notion de mesure de Gibbs pour le flot géodésique tangent aux feuilles d'un fibré feuilleté au dessus d'une base courbée négativement.

Nous montrerons que les mesures "usuelles" (mesures harmoniques, limites de grandes boules tangentes) servant à décrire le comportement ergodique des feuilles d'un feuilletage correspondent chacune à un certain potentiel.

Nous traiterons les problèmes d'existence et d'unicité dans le cas des fibrés feuilletés projectifs sans mesure transverse invariante, et si le temps le permet, nous évoquerons les problèmes de comptage et d'équidistribution qui sont associés.

24 février:

Mathieu Guay-Paquet

(Montréal)

Permutation factorizations, (monotone) Hurwitz numbers, and the HCIZ integral

Consider the Hurwitz numbers, which count branched coverings of the Riemann sphere up to homotopy. Consider also the coefficients of the asymptotic expansion of the free energy of the Harish-Chandra-Itzykson-Zuber matrix integral.

One link between these two sets of (a priori very different) numbers is given by the fact that they can all be obtained by counting solutions to some specific permutation factorization problems.

The topic of this talk will be to show how the translation can be done between the original problems and the enumeration problems, using the tool of symmetric functions in Jucys-Murphy elements. This is based on joint work with Ian Goulden and Jon Novak.

3 mars:

Relâche

(Vacances Hiver)

 

10 mars:

Catherine Pfaff

(Marseille)

Axes solitaires dans l'outre-espace

Certains ensembles d’éléments ayant des propriétés de type hyperbolique, tels que les éléments pseudo-Anosov des "Mapping Class Groups," ont un unique axe invariant. D’autres ont un ensemble d’axes appelé “faisceau d’axes.” Les éléments iwip de $Out(F_n)$ sont souvent du deuxième type.

Nous déterminons quand un iwip possède un unique axe dans son faisceau d'axes. Si un iwip possède un unique axe alors nous décrivons précisement son faisceau d'axe. On obtient ainsi une méthode pour savoir si deux tels iwips sont conjugués ou non.

17 mars:

Julien Marché

(Paris 6)

Ergodicité de l'action du groupe modulaire sur les variétés de caractères en genre 2.

L'espace des représentations d'une surface de genre $2$ dans $PSL_2(\mathbb{R})$ a $5$ composantes connexes, indexées par la classe d'Euler qui varie entre $-2$ et $2$. Le groupe modulaire agit proprement sur les composantes de classe $\pm 2$ qui s'identifient à l'espace de Teichmüller.

On montre qu'au contraire, conformément à une conjecture de Goldman, le groupe agit ergodiquement en classe d'Euler $\pm 1$. Cela passe par la résolution d'une question de Bowditch: est-ce que pour toute représentation de classe non extrémale il existe une courbe simple dont l'image est elliptique?

24 mars:

Tullia Dymarz

(University of Wisconsin)

Toute application quasi-symétrique de $\mathbb{R}\times \mathbb{Q}_p$ est bilipschitzienne.

Les applications quasi-symétriques sont liées aux applications quasi-conformes. Pour les espaces euclidiens et $p$-adiques, il y a beaucoup d'applications quasi-symétriques qui ne sont pas bilipschitziennes mais on montre que pour le produit direct des deux ce n'est pas le cas.  Pour démontrer le théorème, au lieu d'une analyse directe, on utilise l'analyse sur les espaces hyperboliques.

Abstract: Quasisymmetric maps are maps that are metrically defined and closely related to quasiconformal maps. Quasisymmetric maps of both euclidean space and the $p$-adics are abundant but we show that when you consider the product space of the two all quasisymmetric maps are bi-Lipschitz. Our proof does not use any direct analysis but instead uses coarse topology and results from negative curvature.

31 mars:

Ashot Minasyan

(Southampton)

New examples of groups acting on real trees.

A real tree is a geodesic 0-hyperbolic metric space, i.e., a geodesic metric space in which every geodesic triangle is a tripod. In 1987 P. Shalen asked whether any finitely generated  group which has a non-trivial (i.e., without a global fixed point) isometric action on a real tree also admits a non-trivial simplicial action on a simplicial tree.

Since then several authors (including Rips, Bestvina-Feighn, Sela, Guirardel, and others)  showed that the answer is affirmative if one imposes additional assumptions on the behaviour of arc stabilizers. During the talk I will discuss a construction which allows to produce counterexamples to Shalen's question in its original form.

31 mars:

Gye-Seon Lee (Exposé exceptionnel à 15h15)

(Heildelberg)

Compact real projective Coxeter polyhedra

In 1970, E.M. Andreev gave a full description of 3-dimensional compact hyperbolic polyhedra with dihedral angles submultiples of $\pi$. We call them hyperbolic Coxeter polyhedra. More precisely, given a combinatorial polyhedron $C$ with assigned dihedral angles, Andreev’s theorem provides necessary and sufficient conditions for the existence of a hyperbolic Coxeter polyhedron realizing $C$.

Since hyperbolic geometry arises naturally as sub-geometry of real projective geometry, we can ask an analogous question for compact real projective Coxeter polyhedra. In this talk, I’ll give a partial answer to this question. This is a joint work with Suhyoung Choi.

7 avril:

Piotr Przytycki

(Varsovie)

Licornes fines

Les groupes modulaires agissent sur les graphes d'arcs et les graphes de courbes. On démontre que ceux-ci sont 17-hyperboliques et ceux-là sont 7-hyperboliques.

Pour cela, on introduit les chemins de licornes et on démontre qu'ils forment des triangles 1-fins. Ces résultats sont en commun avec Sebastian Hensel et Richard Webb.

14 avril:

Samuel Petite

(Amiens)

Simplicité de groupes d'homéomorphismes d'une lamination pavable

Des lamination particulières  (dites "pavables") apparaisent lors des études des pavages apériodiques. Dans un travail en commun avec J. Aliste, nous montrons que la composante connexe de l'identité parmi les homéomorphismes préservant chaque feuille d'une telle lamination est ouverte et simple.

De plus, nous montrons, en dimension un, que ce groupe est uniformément parfait. Nous présenterons  dans cet exposé quelques conséquences de ces résultats.

21 avril:

Relâche

(Pâques)

 

28 avril:

Relâche

(Vacances de Pâques)

 

5 mai:

Relâche

(Vacances de Pâques)

 

12 mai:

Antoine Gournay

(Neuchâtel)

Marches aléatoires, fonctions harmoniques et cohomologie $\ell^p$ en degré 1.

La cohomologie $\ell^p$ réduite en degré est un invariant de quasi-isométrie utile pour les graphes [de valence bornée] dont la définition est relativement simple. Sur un graphe il y a un opérateur de gradient naturel qui associe à une fonction $f$ (définie sur les sommets) la fonction $df$ qui associe à une arête la différence des valeurs à ses extrémités. La cohomologie $\ell^p$ est le quotient des fonction dont le gradient est dans $\ell^p$ par les fonctions qui sont dans $\ell^p$.

Dans cette exposé, j'expliquerai comment, sous des hypothèses de profil isopérimétrique, il est possible de voir l'essentiel de cet espace comme un sous-espace des fonctions harmonique bornées. Au cours de cette démonstration, le coût de transport apparaît naturellement pour contrôler la croissance des fonctions à gradient dans $\ell^p$.

Les applications principales de ce résulats sont
 - d'exhiber une partie du bord de Poisson qui est invariant sous quasi-isométries
 - de montrer que les groupes moyennables ont une cohomologie $\ell^p$ réduite triviale pour tout $p \in [1,2]$ et que ceci reste vrai pour beaucoup d'entre eux lorsque $p>2$. [Ceci donne un réponse partielle à une question de Gromov.]
 - de montrer que plusieurs groupes (e.g. allumeurs de réverbères) n'ont pas de fonctions harmoniques bornées à gradient $\ell^p$ (bien qu'ils aient une foule de fonctions harmoniques bornées, en particulier à gradient dans $\ell^\infty$)

19 mai:

Fanny Kassel

(Lille)

Espaces-temps de courbure constante en dimension trois   

L’espace de Minkowski $\mathbb{R}^{2,1}$ est l’analogue lorentzien de l’espace euclidien $\mathbb{R}^3$ ; l’espace anti-de Sitter $AdS^3$ est l’analogue lorentzien de l’espace hyperbolique $\mathbb{H}^3$. Je donnerai quelques résultats récents sur la géométrie et la topologie de leurs quotients par des groupes discrets, en expliquant comment les quotients de $\mathbb{R}^{2,1}$ par des groupes libres (ou espaces-temps de Margulis) sont des « versions infinitésimales » de quotients de $AdS^3$. En étudiant les déformations d’une surface hyperbolique qui raccourcissent les longueurs de géodésiques, on montre que tout espace-temps de Margulis admet un domaine fondamental bordé par des surfaces polyhédrales appelées plans croches. Il s’agit d’un travail en commun avec Jeff Danciger et François Guéritaud.

26 mai:

Antonin Guilloux

(Paris 6)

Espaces de représentations de groupes de 3 variétés.

On considère un complémentaire de noeud et $G$ son groupe fondamental. On discutera les propriétés et la géométrie des espaces des representations de $G$ dans les groupes $\textrm{PGL}(n,\mathbb{C})$.

Une attention particulière sera portée sur l'application de restriction au bord, qui à une telle représentation associe sa restriction au groupe fondamental du tore périphérique.

2 juin:

Pascal Hubert

(Marseille)

Nullité de certains exposants de Lyapunov du cocycle de Kontsevich-Zorich

Je rappellerai dans un premier temps comment le cocycle de Kontsevich-Zorich agit sur les espaces de modules de formes différentielles abéliennes et quadratiques.

Après avoir fait le point sur des résultats profonds d'Eskin, Kontsevich, Zorich, Forni, Matheus, j'expliquerai comment construire "beaucoup" d'exposants de Lyapunov nuls pour ce cocycle lorsqu'il agit sur certaines sous-variétés des espaces de modules de formes différentielles quadratiques (ceci est un résultat élémentaire obtenu en commun avec Julien Grivaux).

2 juin:

Persi Diaconis (Exposé exceptionnel à 15h30)

(Stanford University)

Speedings things up

Markov chain monte Carlo algorithms are a mainstay of scientific computing. The design of efficient, useful algorithms is still much more art than science.

I will present several families of examples where adding simple deterministic moves to simple random walks really helps (running times from $n^2$ to $log(n)$).

There are also examples where adding such moves slows things down. The math involved is representation theory of finite groups, old fashioned hard analysis together with a bit of number theory and a bit of coding theory. This is a joint work with Ron Graham.

Conchita Martínez-Pérez (Exposé exceptionnel à 14h30)

(Zaragoza)

Geometric dimension for proper actions of some groups

We use compactly supported cohomology to obtain a formula for the geometric dimension for proper actions of groups satisfying certain finiteness conditions.

This formula can be used for some simple complexes of finite groups and also to show that for Coxeter groups the dimension above equals the virtual cohomological dimension. This is a joint work with Dieter Degrijse.

9 juin:

Relâche

(Lundi de Pentecôte)

 

16 juin:

Conférence

23 juin:

Anne Parreau

(Grenoble)

Actions de groupes de surfaces sur des immeubles affines triangulaires

Dans cet exposé, on s'interessera aux représentations du groupe fondamental d'une surface $S$ dans $PGL(3)$ sur un corps valué ultramétrique, agissant sur l'immeuble affine $X$ associé.

On montrera que, dans le cas où $S$ a un bord, sous des conditions simples sur les coordonnées de décalage de Thurston-Penner-Fock-Goncharov, l'action préserve un sous-complexe dans $X$, cocompact et faiblement convexe, qui est par morceaux un arbre ou une surface. En particulier on associe à ces représentations une famille de $A_2$-complexes finis, analogues aux surfaces de translation et semi-translation mais avec holonomie dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$, permettant notamment de calculer le spectre de longueurs / valeurs propres.

Cela permet de décrire explicitement une large famille de dégénérescences de structures projectives convexes sur la surface $S$.