Séminaire Ergodique

17 septembre:

Samuel Tapie

(Nantes)

Entropie extrémale et flots de Yamabe.

Le flot géodésique sur les variétés riemanniennes est un système dynamique d'origine purement géométrique ; cependant relier ses propriétés dynamique à la géométrie de la variété sous-jacente n'est pas toujours facile. Les travaux de Katok et de Besson-Courtois-Gallot ont montré que pour les variétés compactes à courbure sectionnelle négative, les variétés locallement symétriques correspondent exactement aux extremas de l'entropie. Qu'en est-il pour le flot sur des variétés qui n'admettent pas de structure localement symétrique ? Pour des variétés non-compactes ? Après avoir rappelé l'historique de ce problème, nous présenterons une réponse partielle à ces questions : dans chaque classe conforme de métrique, les extremas de l'entropie correspondent à des métriques à courbure scalaire constante.

Résultats obtenus en colaboration avec P. Suarez-Serrato (UNAM Mexico).

18 septembre:

Juan Souto

(Vancouver)

Distributional limits of Riemannian manifolds.

Adapting an argument due to Benjamini and Schramm we study the possible distributional limits (or weak limits) of sequences of Riemannian manifolds with bounded curvature and satisfying a suitable condition of quasi-conformal nature. As an application we show that distributional limits of sequences of graphs with bounded degree and sublinear genus growth are almost surely recurrent.

This is joint work with Hossein Namazi and Pekka Pankka.

24 septembre:

Arnaldo Nogueria

(Aix-Marseille)

Approximation diophantienne inhomogène et orbites des réseaux.

Un résultat basique en approximation diophantienne homogène assure que, si $\xi$ est un nombre irrationnel, il existe une infinité de pairs primitifs de nombres entiers $(p,q)$, avec $q \geq 1$, tels que $\displaystyle \vert q\xi+p\vert <\frac{1}{ q }$. Notre point de départ est le célèbre théorème de Minkowski sur l'approximation diophantienne inhomogène.
${\bf Théorème:}$ Soit $\xi$ un nombre irrationnel et $y$ un nombre réel, $y \notin \mathbb{Z} \xi + \mathbb{Z}$, alors il existe une infinité de pairs d'entiers $(p,q)$ tels que $\displaystyle \vert q\xi+p-y\vert \leq \frac{1}{4\vert q \vert }$.
Un autre résultat classique sur l'approximation inhomogène est le théorème métrique de Cassels suivant:
${\bf Théorème:}$ Soit $\psi : \mathbb{N} \rightarrow [0,\infty)$ une fonction telle que la série $\sum_{\ell \geq 1} \psi(\ell )$ diverge, alors pour presque tout point $(\xi,y) \in \mathbb{R}^2$, par rapport à la mesure de Lebesgue, il existe une infinité de pairs d'entiers $(p,q)$ tels que $$\vert q\xi+p-y\vert \leq \psi(\vert q \vert).$$ L'objectif de notre exposé est de présenter des résultats similaires au théorème de Cassels sous la condition que les pairs $(p,q)$ soient primitifs avec $q \geq 1$. Nous souhaitons mettre l'accent sur le rôle de la théorie Ergodique dans la démonstration de nos résultats.

L'exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Michel Laurent.

1er octobre:

Andres Sambarino

(Orsay)

Convexité et comptage.

Nous allons nous intéresser à la question suivante: Étant donné un sous groupe discret $\Lambda$ de $\textrm{PGL}(d,\mathbb{R})$, combien y-a-t-il d'éléments dont la norme d'opérateur est majoré par $t > 0$?

Nous allons donner une réponse précise pour les convexes divisibles à bord strictement convexe et pour les représentations de Hitchin.

8 octobre:

Sophie Grivaux

(Lille)

Ensembles de non recurrence pour des systemes dynamiques faiblement mélangeants

Nous étudions les ensembles de non récurrence pour des sytèmes dynamiques faiblement mélangeants, et généralisons certains résultats récents de Bergelson, del Junco, Lemanczyk et Rosenblatt. Nous montrons en particulier que les ensembles d'entiers $\{n_k\}$ tels que $n_{k+1}/n_k$ tend vers l'infini, ou tels que $n_k$ divise $n_{k+1}$ pour tout $k$, sont des ensembles de non récurrence pour un systeme faiblement mélangeant. Notre approche utilise les systèmes dynamiques linéaires, qui sont ceux formes par un operateur linéaire borné agissant sur un espace de Banach séparable complexe muni d'une mesure gaussienne non degenerée invariante.

15 octobre:

Benoit Collins

(Lyon)

Information quantique, matrices aléatoires et probabilités libres.

Un canal quantique est une application linéaire entre algèbres de matrices qui préserve la trace et a certaines propriétés de positivité. Il s'agit d'un analogue non-commutatif d'un opérateur de Markov, qui est utilisé pour modéliser des protocoles de communication entre systèmes quantiques. La théorie de l'information dans le cadre de ces protocoles de communication quantiques est un analogue non-commutatif de la théorie de Shannon dans le cas classique, et fait l'objet de beaucoup d'applications, mais aussi de problèmes et de conjectures en mathématiques. Je vais m'attarder sur le problème de l'additivité de l'entropie minimum de sortie et le comportement des canaux quantiques typiques. En particulier, je vais expliquer pourquoi, pour 'presque tous' les canaux quantiques tirés selon une mesure de probabilité naturelle, l'ensemble des images des états est un ensemble asymptotiquement déterministe dont l'image peut être calculée grâce à des techniques de probabilités libres et de matrices aléatoires.

Cet exposé repose sur plusieurs travaux en collaboration avec Ion Nechita, Motohisa Fukuda, Camille Male, Serban Belinschi.

22 octobre:

Serge Cantat (ULM - Rennes)

Entropie des transformations birationnelles du plan.

Je décrirai quelques résultats sur ce qu'on appelle le "degré dynamique" d'une application birationnelle. Souvent, le logarithme de ce degré dynamique est égal à l'entropie topologique de l'application. On verra que ce degré ne peut prendre que des valeurs spéciales, qui sont des nombres de Pisot et de Salem.

5 novembre:

Bruno Duchesne

(Nancy)

Applications harmoniques et superrigidité en dimension infinie.

Nous introduirons la notion d'applications harmoniques dans le cas où la source est une variété riemannienne compacte et la cible est un espace métrique à courbure négative en suivant les idées de Korevaar et Schoen. Le but sera de prouver un résultat d'existence d'application harmonique. La difficulté sera de palier à l'absence de compacité locale de la cible; une hypothèse géométrique de rang fini remplira ce rôle.

On appliquera ce résultat pour montrer une version de la supperigidité de Margulis pour des actions de réseaux uniformes dans des groupes de Lie semisimples agissant par isométries sur des espaces de dimension inifinie.

19 novembre:

Constantin Vernicos

(Montpellier)

Approximabilité des corps convexes et entropie volumique des géométrie de Hilbert.

L'approximabilité est un nombre qui indique la difficulté à approcher un convexe par des polytopes. Dans notre exposé nous décrirons les liens que nous avons obtenus entre ce nombre et l'entropie volumique des géométries de Hilbert. En particulier nous verrons que cela nous permet de résoudre la conjecture concernant la borne supérieure de l'entropie en dimension 2 et 3.

26 novembre:

Bertrand Deroin

(Orsay)

Dynamique et topologie des hypersurfaces Levi-plates dans les surfaces complexes

Je décrirai certaines propriétés dynamiques des hypersurfaces Levi-plates dans les surfaces de type général, et donnerai quelques applications concernant leur topologie. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Christophe Dupont.

27 Novembre:

Han Li

(Yale)

Effective discreteness of the 3-dimensional Markov spectrum

Let $O=\{$non-degenerate, indefinite, real quadratic forms in 3 variables$\}$. For every quadratic form $Q$ in the set $O$, we define the Markov infimum $m(Q)=\inf \{ \frac{| Q(v) |^3}{det(Q)}: v $ is a non-zero integral vector in $\mathbb{R}^3 \}$. The set $M=\{ m(Q) : Q \in O\}$ is called the 3-dimensional Markov spectrum. An early result of Cassels-Swinnerton-Dyer combined with Margulis's proof of the Oppenheim conjecture asserts that, $M \cap (a,\infty)$ is a finite set for every $a>0$. In this talk, we will show that when $a>0$ is sufficiently small, the cardinality of the set $M \cap (a,\infty)$ is bounded by $a^{-26}$. This is a joint work with Prof. Margulis. Our method involves homogeneous dynamics, the geometry of numbers and automorphic representations.

3 décembre:

Nicolas Bedaride

(Marseille)

Introduction au billard dual.

Le billard dual a été introduit par B. H. Neuman dans les années 1950: la question principale est de savoir s'il existe un convexe du plan tel que le billard dual autour de ce convexe possède une orbite non bornée. R. Schwartz a répondu positivement à cette question en 2007 et a introduit de nombreux outils pour analyser ce système. On présentera ces outils et on décrira la dynamique symbolique de cette application pour certains polygones.

10 décembre:

Bryna Kra

(Northwestern University)

Periodicity and complexity in higher dimensions

The Morse-Hedlund Theorem states that an infinite word in a finite alphabet is periodic if and only if there is exists a positive integer $n$ such that the complexity (the number of words of length $n$) is bounded by $n$, and a natural approach to this theorem is via analyzing the dynamics of the $\mathbb{Z}$-action associated to the word. In two dimensions, a conjecture of Nivat states that if there exist positive integers $n$ and $k$ such that the complexity (the number of $n$ by $k$ rectangles) is bounded by $nk$. Associating a $\mathbb{Z}^2$-dynamical system to the infinite word, we show that periodicity is equivalent to a statement about the expansive subspaces of the action. As a corollary, we prove a weaker form of Nivat’s conjecture, under a stronger bound on the complexity function. This is joint work with Van Cyr.

17 décembre:

Alessandro Sisto

(Oxford)

Comparing boundaries of relatively hyperbolic groups

Relatively hyperbolic groups are a useful generalisation of hyperbolic groups, and they have been used, for example, in the proof of the Virtual Haken Conjecture. I will discuss their boundaries, and especially the problem of describing how such boundaries change under natural constructions. This problem is inspired by and related to Thurston's Dehn Filling Theorem.

7 janvier:

Francis Comets

(Jussieu)

Percolation à longue portée et ondes baladeuses.

On considère un système de $N$ particules soumis à une dynamique stochastique introduit par Derrida et Brunet. Les particules s'interpretent comme le temps de passage dans un modèle de percolation orientée de champ moyen sur $\{1,...,N\}$. Les particules restent groupées, elles se déplacent comme un front avec bruit de quantification et bruit aléatoire. On s'intéresse a la vitesse de propagation et aux fluctuations. La loi de Gumbel joue un rôle central pour la dynamique, mais les lois bornées donnent lieu a un comportement tres different.

14 janvier:

Gilles Carron

(Nantes)

Exposant critique et spectre differentielle des variétés hyperboliques..

Un résultat célèbre de D. Sullivan donne une formule pour le bas du spectre d'une variété hyperbolique réelle en fonction de l'exposant critique de son groupe fondamental. Avec E. Pedon, nous avons obtenu une généralisation de ce résultat pour le spectre du Laplacien de Hodge. Nous décrirons la philosophie de la preuve, comment ce résultat peut se généraliser à tous les espaces symétriques et les résultats de rigidité qui vont avec qui sont des généralisations de résultats de Bowen, Izeki, Besson-Courtois-Gallot.

21 janvier:

Emmanuel Militon

(X CMLS)

Éléments de distorsion dans les groupes d'homéomorphismes et de
difféomorphismes de variétés.

Une branche de la dynamique s'intéresse aux actions de groupes (à priori distincts de $\mathbb{R}$ ou de $\mathbb{Z}$) sur les variétés. Typiquement, les questions que l'on se pose sont les suivantes : étant donnée une variété $X$,

* quels groupes agissent fidèlement sur $X$ ou, autrement dit, quels groupes s'injectent dans le groupe des homéomorphismes de $X$ ?
* Comment un groupe donné peut-il agir sur $X$ ?

En toute généralité, ces questions sont très difficiles. La notion d'élément de distorsion d'un groupe, qui sera l'objet central de cet exposé, permet de donner des éléments de réponse (très partiels) a ces questions. Au cours de cet exposé, nous verrons par exemple les liens entre la distorsion dans les groupes d'homéomorphismes de surface et la notion d'ensemble de rotation.

4 Février:

Jeremie Brieussel

(Montpellier)

Moyennabilité de groupes dirigés.

La famille des groupes dirigés réunit de nombreux exemples de groupes aux propriétés inhabituelles comme des groupes infinis de torsion à croissance intermédiaire (Aleshin-Grigorchuk) ou des groupes à croissance exponentielle non-uniforme (Wilson). Ces groupes, qui agissent sur des arbres enracinés, sont moyennables dès que la valence de l'arbre est bornée. Je discuterai la moyennabilité de ces groupes d'une part au moyen de l'étude de marches aléatoires, ce qui permet d'exhiber des comportements nouveaux de fonctions asymptotiques (entropie, croissance, probabilité de retour), d'autre part d'un point de vue géométrique basé sur la construction d'ensembles de Folner explicites pour les groupes de Wilson.

11 Février:

Barbara Schapira

(Amiens)

Mesures de Gibbs en courbure négative.

Dans ce travail en commun avec Frédéric Paulin et Mark Pollicott, nous introduisons une notion de mesure de Gibbs sur un espace non compact non symbolique. Pour le flot géodésique sur une variété non compacte à courbure négative, nous montrons que les différentes notions naturelles de pression coincident, puis nous construisons de telles mesures de Gibbs pour le flot géodésique, à l'aide d'une construction "à la Patterson-Sullivan". Nous montrons de nombreux résultats pour ces mesures, parmi lesquels: résultats d'équidistribution des orbites périodiques, principe variationnel, unique ergodicité du feuilletage stable,...

18 Février:

Pierre-Emmanuel Caprace

(Louvain)

Structure infinitésimale des groupes localement compacts simples.

Cet exposé concerne les groupes localement compacts simples et compactement engendrés. Le cas des groupes connexes est bien compris: il correspond exactement aux groupes de Lie simples. Le cas complémentaire est celui des groupes totalement discontinus. Le but de l'exposé sera d'illustrer que, si l'on exclut les groupes discrets, les groupes en question sont porteurs de structure fort riche, notamment d'un point de vue dynamique, qui apparaît en étudiant ces groupes au voisinage de l'identité.

11 Mars:

Nadine Guillotin

(Lyon)

Sur des chaînes de Markov à valeurs dans ${\mathcal S} (\mathbb{C}^{N}) \times \mathbb{Z}^d.$

Je présenterai quelques récents résultats concernant des chaînes de Markov à valeurs dans ${\mathcal S} (\mathbb{C}^{N}) \times \mathbb{Z}^d$ où ${\mathcal S} (\mathbb{C}^{N})$ désigne l'ensemble des matrices hermitiennes de taille $N$, positives, de trace un.

18 Mars:

Matias Carrasco

(Marseille)

Dimension conforme et scindements canoniques des groupes hyperboliques.

La dimension conforme d'un groupe hyperbolique $G$ est un invariant numérique de quasi-isométrie. Introduite par Pansu, elle est définie comme l'infimum des dimensions de Hausdorff de toutes les distances Ahlfors régulières dans la jauge conforme du bord à l'infini de $G$. Elle joue un rôle important dans l'approche de Bonk et Kleiner de la conjecture de Cannon. Un problème important est de déterminer à quelles conditions la dimension conforme est égale à la dimension topologique du bord.

Dans cet exposé nous abordons le cas de dimension topologique égale à un. On donne un critère générale (pour dimension conforme égale à un) qui se base sur l'étude du comportement de la dimension conforme sous certains scindements canoniques du groupe.

25 mars:

Mathieu Carette et Dennis Dressen

(Louvain-la-Neuve et Southampton)

Topological characterizations of locally compact hyperbolic groups, embeddings of such groups into $L_p$-spaces and $n$-transitive actions.

Hyperbolic groups play a central role in geometric group theory and yet the main subject of study has always been the relatively small class of finitely generated hyperbolic groups. On the other hand, Gromov's work already contained ideas that encompass locally compact hyperbolic groups and recently, Caprace and al. gave a formal definition of this class of groups. Important examples are $SO(n,1)$, $SU(n,1)$ and $Sp(n,1)$ and this observation leads to a whole new variety of techniques to study these groups. From the metric definition, one can again associate a natural (hyperbolic) boundary, which is a compact space on which the group acts by homeomorphisms. In the discrete case, Bowditch gave a topological characterisation of hyperbolic groups acting on their boundary as uniform convergence groups on compact perfect spaces.

In the first talk, we will recall these notions and provide a generalisation for locally compact groups. We will discuss a first application of our result : a characterisation of transitive convergence groups.

In the second talk, we will discuss a second application towards a classification of sharply n-transitive groups acting on compact spaces, and discuss embeddability results of hyperbolic groups into $L_p$-spaces. In particular, we generalize a result of Yu (later reproved completely differently by Bourdon) stating that every discrete hyperbolic group admits a proper affine isometric action on an $L_p$-space for $p$ sufficiently large. Moreover, we calculate the so called equivariant $L_p$-compressions of $SO(n,1)$.

8 Avril:

Cormac Walsh

(X CMA)

The horofunction boundary of Teichmuller space.

The horofunction boundary of a metric space was introduced by Gromov in the late 1970s. In this talk, I will describe the horofunction boundary of Teichmuller space with the Teichmuller metric. It turns out to be the same as another boundary of Teichmuller space defined by Gardiner and Masur. One property of the horofunction boundary is that geodesic rays always converge to a boundary point. I will show how to calculate explicitly these limits in the case of Teichmuller space.

15 Avril:

Paul Mercat

(Orsay)

Semi-groupes d'isométries d'espaces hyperboliques et développements $\beta$-adiques.

Il existe un très joli théorème de Patterson-Sullivan-Paulin, qui fait le lien entre une donnée géométrique, l'ensemble limite, et une donnée dynamique, la vitesse exponentielle de croissance (appelée exposant critique), pour un groupe discret d'isométries d'un espace hyperbolique.

Un des exemples les plus simples est de prendre un sous-groupe discret de $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$, qui agit par homographie sur le demi-plan de Poincaré. L'ensemble limite est alors une partie de $\mathbb{R}$, et l'exposant critique est un nombre entre $0$ et $1$.

Nous présentons une généralisation de ce théorème aux semi-groupes. Nous donnerons les grandes lignes de la preuve de ce résultat, qui repose sur le principe du "ping-pong", et nous verrons d'autres résultats que nous obtenons tels que l'existence de "gros" sous-semi-groupes de Schottky dans les semi-groupes.

Nous verrons ensuite les semi-groupes de développement $\beta$-adiques, qui sont des exemples intéressant de semi-groupes d'isométries de l'espace hypebolique $\mathbb{H}^3$ pour lesquels nous arrivons presque toujours à calculer la valeur exacte de l'exposant critique, et parfois à en déduire la dimension de Hausdorff de l'ensemble limite (quand $\beta$ est un nombre de Pisot généralisé).

6 Mai:

Alexandre Martin

(Strasbourg)

Un problème de combinaison pour les bords de groupes.

La géométrie des groupes étudie les groupes à travers leurs actions sur des espaces aux propriétés intéressantes. Un exemple particulièrement important de tel espace est le classifiant des actions propres d’un groupe $G$, c’est à dire un espace contractile avec une action proprement discontinue (et si possible cocompacte) de $G$. L’existence d’une compactification dite "de Bestvina" d’un tel espace est elle aussi riche d’enseignements : elle implique à elle seule la conjecture de Novikov pour $G$.

Dans cet exposé, je parlerai d’un problème de combinaison pour les bords de groupes. Etant donné un groupe $G$ agissant sur un espace contractile $X$ avec des stabilisateurs possédant tous un bord de Bestvina, je donnerai des conditions sur l’action et sur la géométrie de $X$ qui permettent de construire un espace classifiant et un bord de Bestvina pour $G$. Ce résultat permet d’étendre à de nombreux complexes de groupes de dimension arbitraire un théorème de combinaison de Bestvina-Feighn pour les groupes hyperboliques, en étudiant la dynamique de $G$ sur ce bord nouvellement construit.

13 Mai:

Nicolas Chevallier

(Mulhouse)

Minima des réseaux et théorème de Levy.

Considérons la surface $S$ de l'espace des réseaux $SL(d+1,\mathbb{R})/SL(d+1,\mathbb{Z})$ définie par l'égalité des deux premiers minima d'un réseau. Nous montrerons que les temps de retour sur la surface $S$ d'un flot diagonal convenable sont liés à la croissance des meilleures approximations diophantiennes des vecteurs de $\mathbb{R}^d$. Le théorème de Birkhoff appliqué à l'application de premier retour du flot permet alors d'estimer la croissance des meilleures approximations. Il s'agit d'un travail en commun avec Yitwah Cheung.

27 mai:

Baptiste Olivier

(Rennes)

Rigidité d'actions de groupes sur les espaces $L_p$ non-commutatifs.

En 2007, Bader, Furman, Gelander et Monod ont introduit une variante de la propriété $(T)$ de Kazhdan pour des groupes topologiques à l'aide de représentations orthogonales sur certains espaces de Banach. Cette propriété est appelée propriété $(TB)$, relative à l'espace de Banach $B$. Des liens entre la propriété $(T)$ et la propriété $TL_p(X,\mu)$ ont été donnés, où $L_p(X,\mu)$ est l'espace $L_p$ classique (appelé encore "espace $L_p$ commutatif") associé à l'espace mesuré $(X,\mu)$.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons au cas de la propriété $(TL_p(M))$ relative à l'espace $L_p(M)$, espace $L_p$ associé à l'algèbre de von Neumann $M$ (appelé encore "espace $L_p$ non-commutatif"). Nous parlerons donc de représentations orthogonales sur des espaces $L_p$ non-commutatifs, puis des liens possibles entre la propriété $(T)$ et la propriété $(TL_p(M))$ suivant l'algèbre de von Neumann $M$ considérée.

3 juin:

Nicolas de Saxcé

(Jerusalem)

Dimension de Hausdorff et sous-groupes dans les groupes de Lie

On s'intéresse à la conjecture suivante : "Tout sous-groupe propre borélien dense d'un groupe de Lie simple compact est de dimension de Hausdorff zéro." J'exposerai l'approche par l'analyse de Fourier ainsi que les méthodes de combinatoire additive qui m'ont permis, avec Elon Lindenstrauss, de résoudre cette conjecture dans le cas particulier de SU(2).

17 juin:

Remi Coulon

(Vanderbilt)

Groupes dont un cône asymptotique a une structure d'arbre gradué.

Étant donné un groupe de type fini G, ses cônes asymptotiques sont une classe d'objets qui permettent d'étudier ses propriétés à "large échelle". Grossièrement cela consiste à observer G d'infiniment loin. Les cônes asymptotiques d'un groupe hyperbolique sont des arbres. À l'inverse si G est un groupe de présentation finie dont au moins un cône asymptotique est un arbre, alors G est hyperbolique. Le but de cet exposé est de présenter une généralisation de ce résultat pour les groupes relativement hyperboliques.

La page web du séminaire de Théorie Ergodique de 2012-2013

Le séminaire a lieu le Lundi à 14h dans la Salle 16 du Batiment 22.

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